Vérité et démontrabilité chez Leibniz
Texte intégral
1. Analyse des termes et analyse des propositions
1Un des objectifs poursuivis par Leibniz dans les Recherches générales sur l’analyse des notions et des vérités (1686) est de rapprocher le plus possible l’une de l’autre l’analyse des termes et l’analyse des propositions, ou encore celle des notions et celle des vérités, qui, à ses yeux, sont exactement de la même nature et doivent être expliquées par la même théorie. Pour lui, la proposition est simplement une espèce particulière de terme, un terme que l’on peut appeler « complexe », par opposition à ses constituants non propositionnels, qui sont des termes incomplexes. Un terme ou un conceptI complexe est « ce qui implique en soi une énonciation ou encore une affirmation ou une négation, le vrai ou le faux » [RG, 131]. Un terme incomplexe n’implique en principe rien de tel. Cela pourrait sembler une raison suffisante de reconnaître l’existence d’une différence de catégorie entre les termes incomplexes et les propositions, et de leur appliquer un traitement différent. Mais, pour Leibniz, la différence est plus apparente que réelle et n’a, en tout cas, rien d’essentiel. Il faut noter, pour éviter un malentendu qui a été souvent commis, que, lorsque Leibniz parle de « termes » et de la substitution d’un terme à un autre dans une proposition, il n’entend pas par « terme » et « proposition » les expressions linguistiques concernées, mais les concepts qu’elles représentent : « Par Terme [Terminus], j’entends non pas le nom, mais le concept, ou ce qui est signifié par le nom ; on pourrait dire aussi la notion, l’idée. » [OFI, 243] Et, bien entendu, le concept de vérité que Leibniz utilise doit être compris comme s’appliquant aux termes propositionnels, compris dans ce sens-là, autrement dit, aux contenus propositionnels exprimés, et non aux expressions linguistiques qui les signifient.
- I Les deux choses sont pour Leibniz à peu près interchangeables.
2Selon lui, toute proposition catégorique peut être conçue comme un terme incomplexe auquel on ajoute simplement est ou n’est pas (secundi adjecti 1). Ainsi Tout homme est rationnel peut être mis sous la forme Homme non rationnel (n’est pas, ou encore) est un non-être [cf. RG, 359]. Inversement, tout terme incomplexe doit pouvoir être traité comme une proposition, comme si, dit Leibniz, on lui ajoutait cet être ou mieux ce vrai. Être s’applique en principe aux termes incomplexes et vrai aux termes complexes. Mais Leibniz suggère que homme peut être compris comme si l’on disait Homme est identique à cet être c’est-à-dire Homme est cela même qu’il est et également comme si l’on disait L’homme est vrai [cf. RG, 261]. Quant à la possibilité de concevoir toute proposition à la manière d’un terme, elle est indispensable si l’on veut pouvoir rendre compte de propositions comme « L’homme est quelque animal est vrai, est la proposition, est comme ceci, est la cause, est la raison, etc. » [RG, 263].
3L’assimilation des termes incomplexes aux termes complexes est rendue possible par la décision de traiter le possible comme représentant l’équivalent pour les termes de ce que représente le vrai pour les propositions. Leibniz écrit : « J’appelle vrai un terme incomplexe qui est possible, et faux un terme qui est impossible. » [RG, 239] Cette décision se fonde, de toute évidence, sur le fait qu’un terme non propositionnel peut être considéré comme contenant implicitement une assertion de possibilité. Le terme sera dit vrai si cette assertion est vraie, faux si elle est fausse [NE, 229-30]. L’ambition de Leibniz est exprimée clairement dans l’article 75 des Recherches générales : « Si, comme je l’espère, je peux concevoir toutes les propositions à la manière de termes, et toutes les hypothétiques à la manière des catégoriques, et les traiter toutes de façon universelle, cette chose promet une facilité étonnante dans ma caractéristique et mon analyse des notions, et sera une invention de la plus grande importance. On ne s’étonnera pas que j’appelle de façon générale terme faux celui qui dans les incomplexes est un terme impossible, ou du moins insignifiant, et celui qui dans les complexes est une proposition impossible, ou du moins une proposition qui ne peut être démontrée. C’est pourquoi l’analogie demeure. En conséquence, j’entends par A soit un terme incomplexe, soit une proposition, soit une déduction [collectio], soit une déduction de déductions, etc. De sorte que, de façon générale, est vrai un terme qui peut être parfaitement compris. » [RG, 251]
4Les lettres que Leibniz utilise peuvent donc représenter indifféremment des termes incomplexes, des propositions catégoriques, des propositions hypothétiques du type Si A, alors B et des inférences, c’est-à-dire des assertions du type A permet de déduire B ou B est une conséquence logique de A. Leibniz ne fait pas de différence réelle entre ces deux dernières choses, pas plus qu’il ne sent, de façon générale, le besoin de faire une distinction stricte entre ce qu’il appelle une énonciation directe L et une énonciation « réflexive » comme L est vrai. Les lettres peuvent prendre comme valeurs non seulement des propositions ordinaires, mais également des propositions qui portent sur des propositions et qui traitent des propriétés des propositions et des relations qui existent entre elles.
5Comme je l’ai dit, la vérité et la fausseté sont des notions qui s’appliquent indifféremment à tous les termes. Leibniz écrit : « Par une lettre fausse j’entends soit un terme faux (ou impossible, ou qui est non-étant), soit une proposition fausse. Et par vrai on pourrait comprendre de la même manière un terme possible ou une proposition vraie. Et, comme on l’explique dans la suite, le syllogisme entier est lui-même pour moi une proposition. Du reste, ce que j’affirme ici peut encore être énoncé ainsi : une partie quelconque du vrai est vraie, ou encore, ce qui est contenu dans le vrai est vrai. » [RG, 235] Si A est un terme incomplexe, la dernière formulation signifie que tout constituant d’un terme possible est lui-même possible. Si A est une proposition, elle signifie que toutes les propositions qui peuvent être déduites d’une proposition vraie sont elles-mêmes vraies.
6Leibniz utilise le même terme « continere » pour désigner la prédication et la relation de conséquence logique. Il emploie même à certains moments A est B (A est B) au sens de Ex A sequitur B (De A suit B) [cf. OFI, 259-260]. Si A et B sont des termes incomplexes, A continet B signifie que B est contenu dans A ou, plus simplement, que A est B. Si A et B sont des propositions, A continet B signifie que B est déductible de A. La relation de coïncidence est définie de la façon suivante : « A coïncide avec B, si l’un peut être substitué à l’autre salva veritate, ou si, en analysant l’un et l’autre par substitution des valeurs (ou des définitions) aux termes, on obtient les mêmes choses, les mêmes choses formellement parlant s’entend, comme si l’on obtenait de part et d’autre L.M.N. Les changements qui se font par substitution de la définition à la place du défini, ou l’inverse, se font, en effet, salva veritate. Il résulte de cela que, si A coïncide avec B, B coïncide également avec A. » [RG, 217]
7Bien que sa terminologie soit quelque peu fluctuante, Leibniz entend normalement par « coïncidence » une identité de l’espèce qu’il appelle « implicite » ou « virtuelle », comme A = B, par opposition à une identité « explicite » ou « formelle », comme A = A. « Les coïncidents sont, écrit-il, les mêmes [eadem] énoncés de façon différente [diversomode enuntiata], comme le chemin qui va <en droite ligne> de A à B et le chemin qui va <en droite ligne> de B à A. » [OFI, 563] Si l’on adopte cette terminologie, on pourra dire que la démonstration effectue la réduction d’une coïncidence à une identité explicite : dans l’exemple donné par Leibniz, celle de A = B à L.M.N = L.M.N.
8On remarquera que l’auteur des Recherches générales est parfaitement conscient du fait que le principe de substituabilité des coïncidents comporte des exceptions. « Si, écrit-il, A est B, on peut mettre B à la place de A, là où il est question uniquement du contenu. De sorte que si A est B et B est C, A sera C. Cela se démontre à partir de la nature de la coïncidence, car les coïncidents peuvent être substitués entre eux (sauf dans les propositions que l’on pourrait appeler formelles, où l’un des coïncidents est pris formellement, de façon à être distingué des autres – propositions qui sont en réalité réflexives et ne parlent pas tant de la chose que de notre façon de concevoir, dans laquelle il y a en tout état de cause une différence). » [RG, 227 ; cf. OFI, 403] On peut donc s’attendre à ce que le principe de substituabilité des coïncidents soit pris en défaut toutes les fois que la valeur de vérité des propositions ne dépend pas seulement des objets désignés, mais de la façon spécifique dont ils sont conçus et représentés.
9Dans le calcul que propose Leibniz, la relation fondamentale est celle de la coïncidence. Dans le cas des termes incomplexes, la coïncidence peut être définie à partir de la prédication, puisque « A est B et B est A est la même chose que A et B coïncident » [RG, 229]. Mais la prédication peut également être ramenée à la coïncidence, puisque A est B est la même chose que A = AB, une formulation qui a, selon Leibniz, l’avantage d’indiquer clairement que, lorsqu’on dit que A est B on veut dire que B est contenu dans A ou est une partie de A [cf. RG, 253]. Pour tenir compte du problème de la quantification, Leibniz utilise également une autre façon d’exprimer la prédication simple en termes de coïncidence. « A est B est, dit-il, la même chose que A est coïncident avec un certain B. Soit A = BY. » [RG, 225] On peut comprendre A est B comme signifiant que tout A et certain B coïncident [cf. RG, 217 ; OFI, 311]. L’homme est un animal signifie que tous les hommes sont la même chose que certains animaux, à savoir les animaux rationnels [cf. RG, 225]. Sauf indication contraire, un terme doit être considéré comme quantifié universellement [cf. RG, 229]. Plus précisément, le sujet doit être traité comme quantifié universellement et le prédicat comme quantifié existentiellement.
10Pour exprimer la quantification explicite, Leibniz propose d’ajouter des lettres indéfinies, X, Y, Z,…, aux lettres définies qui représentent le sujet et le prédicat. La forme générale de la proposition universelle affirmative est A = BY. Celle de la proposition particulière affirmative, Un certain animal est un homme, est BY = AZ [cf. RG, 255]. Mais BY = AZ pourrait être remplacé par BY = AB, puisque Un certain animal est homme est la même chose que Un certain animal est homme-animal [cf. RG, 255]. La forme générale de la proposition universelle négative est A = X non-B. Et celle de la proposition particulière négative est AX = Z non-L. On voit que la proposition particulière affirmative est déductible de la proposition universelle affirmative, puisque, si A contient B, on a A = XB, donc ZA = ZXB (par la définition de la coïncidence). Si maintenant on pose ZX = V, on obtient ZA = VB, c’est-à-dire certains A sont certains B [cf. RG, 297]. Une autre possibilité permet d’éviter le recours aux indéfinies : A = AB (universelle affirmative) ; AB = AB (particulière affirmative) ; A = A non-B (universelle négative) ; A non-B = A non-B (particulière négative) [cf., RG, 272-3].
11La conversion par accident de la proposition universelle affirmative pourrait donner l’impression de soulever, dans certains cas – par exemple quand on passe de Omnis ridens est homo (Tout être qui rit est un homme) à Quidam homo est ridens (Il y a un homme qui rit) –, une difficulté sérieuse. La première proposition serait, en effet, vraie même si personne ne riait, alors que la deuxième serait, dans ce cas, fausse. Leibniz résout le problème en proposant de considérer que la conclusion traite, elle aussi, de possibles, et non d’êtres réels, et « est vraie dans la région des idées, ou si on prend riant [ridens] pour une certaine espèce d’Être possible » [PS, VII, 211-2].
12Le fait que la particulière affirmative soit exprimée sous la forme « AB = AB » risque de créer également une difficulté, puisque cette formulation semble la transformer en une vérité logique et, qui plus est, puisqu’il s’agit apparemment d’une identité explicite, en une vérité logique primitive, autrement dit, un axiome. Mais rien de tel n’est à craindre, puisque AB = AB est faux si la particulière affirmative est fausse, « car dans ce cas AB est un terme impossible puisque A contient non-B » [RG, 273]. Si A contient non-B, alors AB ¤ AB. La particulière affirmative exprime donc en un certain sens simplement la possibilité de AB. Leibniz écrit : « J’entends ici Un certain homme est savant, pour peu que cela soit possible ; à cet endroit, en effet, nous considérons des notions abstraites, et non des expériences. Si en effet A = BY est possible, en tout état de cause le BY en question est un certain B qui est un A. C’est pourquoi, si la particulière affirmative est fausse, il est impossible de donner une telle notion. » [RG, 271-273n]
13Leibniz note qu’il est toujours possible d’ajouter une nouvelle lettre indéfinie a une lettre définie quelconque, de sorte que A peut toujours être remplacé par AY. Cela résulte simplement de la loi d’idempotence. Puisque A = AA et que l’on peut toujours remplacer une lettre définie par une indéfinie dont elle est la valeur, en mettant Y à la place de la troisième occurrence de A, on obtient A = AY [cf. RG, 227]. Dans A = AY, Y est superflu et peut être omis s’il représente un terme universel, en particulier s’il représente le genre suprême, à savoir l’être. A Ens (A étant ou A qui est un être) est la même chose que A tout court ; ce qui permet à Leibniz de dire que être joue le même rôle que l’unité par rapport à la multiplication en arithmétique [cf. RG, 229]. Cet « être » peut être considéré comme équivalent au « 1 » dans le calcul logique de Schröder 2. Une chose analogue peut être dite à propos de « vrai »puisque, comme on le verra, il y a coïncidence entre L est vrai et L, de sorte que L.L est vrai ne dit rien de plus que L tout court.
14Appliquée aux propositions, la coïncidence signifie la déductibilité réciproque : « Je dis que des énonciations coïncident, si l’une peut être substituée à l’autre salva veritate, ou encore si elles s’infèrent réciproquement. » [RG, 219] Pas plus que dans le cas des termes incomplexes, Leibniz ne considère comme nécessaire de démontrer explicitement que les deux caractérisations qu’il propose sont équivalentes, à savoir que, si les énonciations A et B sont partout intersubstituables salva veritate, elles sont réciproquement déductibles l’une de l’autre et, inversement, si ellessont réciproquement déductibles l’une de l’autre, alors elles sont intersubstituables salva veritate. La coïncidence est définie en termes de déductibilité réciproque. Mais la déductibilité simple peut, bien entendu, également être exprimée en termes de coïncidence, puisque A permet de déduire B est la même chose que A coïncide avec A.B. A est B et A infère B peuvent donc être considérés simplement comme des abréviations pour A = AB. Toutes les propositions dont s’occupe le calcul peuvent ainsi être mises sous la forme d’identités ; et le même signe arithmétique « = » est utilisé, bien entendu, pour la coïncidence entre termes et la coïncidence entre propositions.
2. La théorie de la vérité : le vrai, le faux, le possible et l’impossible
15La théorie de la vérité que Leibniz développe dans les Recherches générales repose sur quatre propositions primitives dont il dit qu’elles sont simplement explicatives de la nature de la vérité et de la fausseté. Elles peuvent donc être considérées en quelque sorte comme des définitions implicites partielles des termes « vrai » et « faux ». Leibniz écrit : « Les propositions 1, 2, 3, 4 font office de définitions, ce qui fait qu’elles sont admises sans démonstration ; elles indiquent en effet l’usage de certains signes, à savoir des signes de la vérité et de la fausseté, de l’affirmation et de la négation. » [RG, 223]
16Ces quatre propositions sont :
-
Il y a coïncidence entre l’énonciation (directe) L et l’énonciation (réflexive) L est vrai. Donc (L est vrai) est vrai = L est vrai = L. De même : (L est faux) est vrai = L est faux. D’autre part, il y a coïncidence entre L est vrai et (L est faux) est faux. (Cette deuxième équivalence est présentée elle-même comme une proposition primitive.)
-
Si A et B coïncident, non-A et non-B coïncident également. Non-non-A et A coïncident.
-
Il y a coïncidence entre le non-vrai et le faux, donc également entre le non-faux et le vrai. Cela résulte du fait que si non-A et B coïncident, non-B et A coïncident également. Leibniz le démontre en (2) en utilisant la loi de la double négation (il y a coïncidence entre non-non-A et A) comme axiome.
-
Il y a coïncidence entre (L est vrai) est vrai et (L n’est pas vrai) n’est pas vrai. Donc L et (L est faux) est faux coïncident. En effet, L = L est vrai = (L est vrai) est vrai (1). Or (L est vrai) est vrai = (L n’est pas vrai) n’est pas vrai (4). Et, en vertu de (3), (L n’est pas vrai) n’est pas vrai = (L est faux) est faux. On peut démontrer sans difficulté que : L = (L est non faux) est non faux ; L est faux = (L est non vrai) est non faux ; L est faux = (L est non faux) est non vrai. [cf. RG, 221-3]
17Leibniz note que, de façon générale, vrai par vrai donne vrai, faux par faux donne vrai, non par non équivaut à la suppression des deux négations [cf. RG, 223]. Le principe de bivalence peut être tiré immédiatement de (3). Si L est non vrai, L est faux. Si L est vrai, L est non faux. Si L est non faux, L est vrai. Si L est faux, L est non vrai. Par conséquent, toute proposition est soit vraie, soit fausse.
- II « Homo est animal » peut être considéré comme équivalent à « Homo est animal = hoc (...)
18Une chose qui doit être précisée immédiatement, pour éviter une confusion possible, est que l’énonciation directe, L, et l’énonciation réflexive, L est vrai, ne se distinguent pas l’une de l’autre et ne se rapportent pas l’une à l’autre comme un énoncé du langage-objet à un énoncé du métalangage. Comme le souligne Franz Schupp, Leibniz ne perçoit pas les choses à la façon de Tarski et, chez lui, « “vrai [verum]” n’est pas une expression métalinguistique. La désignation énonciation “directe” et énonciation “réflexive” ne doit par conséquent pas être interprétée au sens de langage-objet et métalangage. Ce qui est proposé ici est plutôt une théorie de la définition allant jusqu’à la généralisation la plus extrême, qui donne la possibilité d’énoncés de l’espèce la plus générale qui soit. Cela apparaît, par exemple, clairement dans le § 108, où l’énoncé conçu comme concept […] “L’homme est un animal” est égalé au concept “vrai”II, par le fait que celui-ci est déterminé de façon plus précise comme “ce vrai” […], de sorte que par l’adjonction de “ce” on obtient un sous-concept de “vrai”. L’énoncé réflexif est un énoncé conçu comme concept, dont le prédicat le plus universel “vrai” est énoncé à nouveau 3 ». Encore une fois, dans L est vrai, le prédicat « vrai » est appliqué non pas à une expression linguistique appartenant à un (niveau de) langage donné, mais à un concept propositionnel dans la constitution duquel le terme « vrai » peut très bien déjà être impliqué.
19Leibniz ne se préoccupe manifestement pas de savoir si les quatre propositions qu’il énonce constituent un système à la fois minimal et complet, c’est-à-dire si elles sont indépendantes l’une de l’autre et suffisantes pour déduire toutes les relations essentielles qui existent entre le vrai, le faux et la négation. La proposition si A = B, alors non-A = non-B, qui est formulée en (2), est vraie pour des raisons qui n’ont aucun rapport direct avec la nature de la négation. Du reste, Leibniz la reformule ensuite avec le numéro (9) en la présentant comme un simple corollaire de la définition de la coïncidence [cf. RG, 223]. Quant à la proposition (12) : L est vrai = (L est faux) est faux, on pourrait la déduire de (11) et de (4), en remplaçant, dans L = (L est faux) est faux, L par L est vrai. Une coïncidence importante que Leibniz ne mentionne pas est celle de non-A et A est faux. On pourrait la démontrer de la façon suivante :
non-A = non-(A est vrai) [en vertu de (1)]
non-(A est vrai) = A est non vrai, donc [en vertu de (3)]
____________________
non-A = A est faux.
20Leibniz considère que la proposition négative signifie la fausseté de l’affirmative : « L’énonciation négative n’est pour moi rien d’autre que celle qui dit que l’affirmative est fausse. » [OFI, 262] On a donc les deux équivalences L = L est vrai et non-L = L est faux. On remarquera encore que, puisque toute proposition qui n’est pas vraie est fausse, non-(A est vrai) = A est faux.
21Une proposition de la forme A coïncide avec A est dite vraie per se. Toute proposition de ce genre, et en principe seule une proposition de ce genre, peut être utilisée comme axiome. Puisque les lettres employées par Leibniz peuvent désigner indifféremment des termes et des propositions, A est A peut exprimer à la fois la forme prédicative du principe d’identité (« Une chose est ce qu’elle est ») et la forme propositionnelle : si A, alors A [cf. NE, 285-6]. Les propositions de la forme A coïncide avec non-A sont dites fausses per se. La coïncidence entre l’énonciation directe et l’énonciation réflexive (1) amène Leibniz à dire que, si une proposition est posée sans aucune spécification du contraire, elle est comprise comme étant vraie [cf. RG, 225]. Cela résulte pour lui du fait que poser L, sans autre précision, veut dire poser que L est vrai.
22Bien que les propositions (1)-(4) soient formulées en priorité à propos d’énonciations complètes, elles sont évidemment supposées, dans l’esprit de Leibniz, s’appliquer également mutatis mutandis aux termes incomplexes eux-mêmes. Il précise à nouveau que les lettres qu’il utilise peuvent représenter aussi bien des termes incomplexes que des termes complexes, et que non peut représenter aussi bien la négation de terme que la négation propositionnelle : « A, comme je l’ai dit, signifie un terme ou une proposition. Par conséquent, non-A signifie le contradictoire d’un terme ou la contradictoire d’une proposition. » [RG, 225] Un terme contradictoire et une proposition contradictoire se définissent de la même façon : que A soit un terme ou une proposition, A est contradictoire (ou impossible) si A contient B et non-B. Leibniz explique les choses de la façon suivante :
- III L’impossible dans les incomplexes est le non-étant (non-ens) ; dans les complexes, c’est le (...)
« (32) B. non-B est impossible, ou si B. non-B = C, C sera impossible.III
(33) Par conséquent, si A = non-B, AB sera impossible.
(34) Ce qui contient B. non-B est la même chose qu’impossible. Ou encore EB. non-B est la même chose qu’impossible. » [RG, 231]
- IV Le signe « ∞ » représente ici la coïncidence.
- V Voir également OFI, 421 : ce qui contient un terme comme A et non A est « non étant ou est un (...)
23Dans le cas des termes incomplexes, le possible est désigné généralement par étant (ens)et l’impossible par non-étant (non-ens). Leibniz dit qu’« est impossible ou non-étant un terme tel que, si l’on pose qu’il est, il en résulte qu’il est contradictoire. Un terme est, en revanche, possible, ou étant, ou réel, si rien de tel ne suit de lui » [OFI, 261]. La raison qui incite à assimiler le cas des propositions fausses à celui des termes impossibles, en dépit du fait que toutes les propositions fausses ne sont manifestement pas des propositions impossibles, est le fait qu’une proposition fausse est une proposition telle que, si elle est posée comme vraie, on peut en déduire une contradiction. Leibniz écrit : « Une énonciation est fausse s’il est possible de faire en sorte que, elle-même étant concédée, de termes possibles admis suive l’impossible, alors que cependant il ne suivrait pas des termes posés, si elle-même n’était pas concédée. Est vraie, en revanche, l’énonciation dont rien de tel ne suit. » [OFI, 262] L’impossible et le faux sont donc définis à certains moments de façon rigoureusement identique. Un terme incomplexe A est faux (impossible) si, pour un certain terme B, il contient à la fois B et non B ; une proposition A est fausse si, pour une certaine proposition B, elle contient (implique) à la fois B et non B : « Si en expliquant A on obtient B non B, A est impossible. Ou de façon plus ecthétique, si A チ L…B non B IV, A est impossible. […] Une énonciation est fausse s’il en résulte que A チ L…B. non B. […] Si A est B non B, A est non étant. Une proposition fausse est une proposition d’où il suit que A est non A. » [OFI, 259]V
24Dans les Recherches générales, Leibniz définit la proposition fausse de la façon suivante : « Une proposition fausse est une proposition qui contient que AB contient non-B (étant posé que B et A sont possibles). » [RG, 231] Mais AB contient non-B est la négation de la proposition AB est B, qui est une proposition nécessaire. C’est donc une proposition impossible. Comme le remarque Leibniz lui-même, si AB contient non-B, AB contiendra AB non-B. Inversement, « la proposition vraie est celle qui coïncide avec celle-ci : AB est B, ou celle qui peut être réduite à cette proposition vraie en premier [primo veram]. (Je pense que cela peut être appliqué même aux non-catégoriques.) » [RG, 231] Une proposition vraie est donc, semble-t-il, une proposition qui coïncide avec une proposition nécessaire, et une proposition fausse une proposition qui coïncide avec une proposition impossible (contradictoire). N’en résulte-t-il pas que l’on peut finalement identifier le vrai avec le nécessaire et le faux avec l’impossible, ce que Leibniz tient, par ailleurs, spécialement à éviter ? Cette identification est sans inconvénient lorsqu’on raisonne dans le cadre d’un système qui traite de propositions pour lesquelles vrai veut dire nécessairement vrai et faux veut dire nécessairement faux, comme celles de la logique et celles des mathématiques. Mais si elle devait être admise de façon générale, elle signifierait qu’il ne peut pas y avoir de propositions contingentes.
- VI En effet : ¬A → [A → (B. non-B)] est équivalent à (¬A . A) → (B. non-B).
25J’ai évoqué plus haut le paradoxe qui semble résulter du fait que le principe « Ex falso sequitur quodlibet [Du faux suit n’importe quoi] » implique comme cas particulier que « Ex falso sequitur impossibile [Du faux suit l’impossible] », alors qu’inversement « Ex impossibile sequitur falsum [De l’impossible suit le faux] ». Ne devrait-on pas dire, dans ces conditions, qu’en fin de compte « Coincidunt falsum et impossibile [Le faux et l’impossible coïncident ou sont équivalents] » ? La réponse consiste à faire remarquer qu’il faut faire entre l’impossibilité simple et l’impossibilité conditionnelle une distinction qui correspond à celle que l’on fait entre la nécessité simple et la nécessité conditionnelle. Le principe d’impossibilité conditionnelle dit que, si A est faux, la supposition que A est vrai implique contradiction. Autrement dit, si A est faux, alors pour autant que A est faux et aussi longtemps qu’il est faux A ne peut pas être vrai, autrement dit, est impossible. Cette impossibilité est essentiellement celle de la vérité et de la fausseté simultanée de AVI, et elle est complètement indépendante de la nature de A. Elle n’implique par conséquent rien quant à la question de savoir si la proposition A est possible ou impossible, absolument parlant. Il faut donc distinguer ce cas de celui dans lequel ce qui est une vérité logique n’est pas simplement ¬A → [A → (B. non-B)], mais A → (B. non-B) lui-même, c’est-à-dire dans lequel de A, considéré en lui-même, on peut déduire logiquement une contradiction.
26C’est le désir d’appliquer un traitement aussi uniforme que possible aux termes incomplexes et aux propositions qui incite Leibniz à prendre le risque de rapprocher aussi fortement la vérité, dans le cas des propositions, de ce qui lui semble en constituer l’équivalent exact pour les termes, à savoir la possibilité elle-même. Toute sa construction repose sur deux principes fondamentaux, l’un, que j’ai déjà mentionné, qui est que tout ce qui est contenu dans le vrai est vrai, l’autre, que tout ce qui contient comme partie le faux est lui-même faux. Et, dans ces deux énoncés, « vrai » et « faux » peuvent signifier soit ce qu’ils signifient habituellement, soit « possible » et « impossible ». Tout comme la démonstration d’une proposition vraie consiste à la ramener à une proposition vraie par soi, c’est-à-dire à une proposition qui exprime une identité explicite totale ou partielle, comme A est A, AB est B, etc., la démonstration d’un terme vrai consiste à le ramener à des termes possibles par soi, c’est-à-dire dont la possibilité peut être immédiatement aperçue. « Démontrer qu’un terme complexe est vrai, explique Leibniz, est le réduire à d’autres termes complexes vrais, et ceux-ci finalement à des termes complexes vrais en premier, c’est-à-dire à des axiomes (ou à des propositions connues par elles-mêmes), à des définitions de termes incomplexes dont on a démontré qu’ils sont vrais, et à des expériences. De la même façon, on démontre que les termes incomplexes sont vrais en les ramenant à d’autres termes incomplexes vrais, et ceux-ci finalement à d’autres termes incomplexes vrais en premier, c’est-à-dire à des termes conçus par soi ou à des termes que nous avons expérimentés (ou qui sont tels que nous en avons expérimenté de semblables). […] C’est pourquoi toute résolution tant des complexes que des incomplexes s’achève dans des axiomes, des termes conçus par soi et des expériences. 4 » [RG, 241 ; OFI, 372-3]
27Bien entendu, à la différence de Dieu, nous ne sommes pas toujours en mesure de démontrer un terme incomplexe en le ramenant à des termes premiers conçus par soi. Leibniz dit que « Dieu, à partir des seules expériences de son intellect, sans aucune perception d’autres choses, juge de la possibilité des choses » [RG, 247]. Notre situation à nous est bien différente. Nous sommes la plupart du temps incapables de pousser la décomposition des termes incomplexes composés jusqu’à leurs constituants ultimes, et nous sommes contraints de recourir, pour juger de la possibilité, à des perceptions externes. Dans bien des cas, nous ne sommes assurés de la possibilité de A que parce que nous avons l’expérience de choses du genre de A. Et nous ne sommes certains de la compossibilité des termes E, F, G que parce que nous avons l’expérience de la coexistence effective de E, F, G dans un même sujet. D’où la précision importante ajoutée par Leibniz à propos de ce qu’est exactement une proposition nécessaire : « Est nécessaire la proposition qui peut être démontrée par des identiques et des définitions, sans qu’il s’y ajoute un autre usage des expériences que celui qui permet d’établir que le terme est possible. » [RG, 245] Ce qui nous garantit en dernière analyse que le cercle est possible est que, même s’il n’y a sans doute pas dans la nature de cercles parfaits, nous savons que l’on peut produire des formes réelles dont la différence par rapport au cercle parfait est aussi petite que l’on voudra.
28« Il faut, nous dit Leibniz, compter au nombre des premiers principes que les termes dont nous appréhendons l’existence dans un même sujet n’impliquent pas de contradiction. Ou encore, si A est B et si A est C, en tout état de cause BC est possible, autrement dit n’implique pas de contradiction. » [RG, 247] La distinction que fait Leibniz correspond à celle que nous ferions entre établir la possibilité de A par une démonstration de non-contradiction (d’où il résulte que l’analyse de A n’aboutira jamais à un terme de la forme B et non-B), et établir la possibilité de A par la production d’un modèle. Pour nous, êtres humains, le possible est d’une certaine façon postérieur au réel dans l’ordre de la connaissance, et la possibilité est, dans de nombreux cas, dérivée en dernière analyse de l’existence constatée. Mais l’approche réellement démonstrative consiste toujours à conclure du possible au réel. Pour Dieu, qui peut démontrer même les propositions existentielles, la démonstration d’existence est encore une démonstration de possibilité, ou plus exactement de compossibilité. Ce que l’existence ajoute au simple possible, dans l’ordre de la possibilité, est la compossibilité avec le meilleur. La raison suffisante de l’existence est la compossibilité avec le meilleur, et la démonstration d’existence la démonstration de cette compossibilité. Leibniz écrit : « Je dis que l’existant est l’étant qui est compatible avec le plus de choses. Ou encore l’étant qui est le plus possible [Ens maxime possibile], c’est pourquoi tous les coexistants sont également possibles. » [RG, 249]
29On peut néanmoins se rendre compte assez facilement que le parallélisme que Leibniz cherche à établir entre le cas des termes possibles et celui des propositions vraies est loin d’être parfait. Démontrer un terme vrai veut dire démontrer qu’il n’implique pas de contradiction, démontrer une proposition veut dire démontrer que sa négation implique une contradiction. D’autre part, il n’y a qu’une façon pour un terme d’être possible, c’est de ne pas impliquer de contradiction ; mais il y a deux façons pour une proposition d’être vraie : elle peut être vraie d’une manière telle qu’elle pourrait également être fausse, c’est-à-dire être vraie de façon contingente, ou au contraire être nécessairement vraie. On pourrait songer à faire dans le cas des termes la même distinction tripartite que dans le cas des propositions, et à représenter de la façon suivante le parallélisme qui existe entre les deux cas :
|
Terme (incomplexe) |
Proposition |
|
Être (possible) |
Possible |
|
Existant (vrai) |
Vraie |
|
Nécessaire |
Nécessaire |
30Comme on l’a vu, ce n’est pas le choix que fait Leibniz, précisément parce qu’il souhaite que l’analyse des termes incomplexes ressemble le plus possible à celle des termes complexes, et que ce que nous attendons de l’analyse d’un terme incomplexe est une manifestation de sa possibilité, tout comme ce que nous attendons de l’analyse d’un terme complexe est une manifestation de sa vérité. Si la démonstration des termes complexes est, selon l’expression de Leibniz, une « explication de la vérité [explicatio veritatis] » [OFI, 408], la démonstration des termes incomplexes est, quant à elle, une « explication de la possibilité [explicatio possibilitatis] ».
3. Le vrai et le démontrable
31J’ai examiné une des raisons qui ont amené Leibniz à rapprocher beaucoup plus qu’on ne le fait généralement, et peut-être qu’il ne souhaitait lui-même le faire, la vérité de la simple possibilité et la fausseté de l’impossibilité pure et simple. Il y en a bien entendu une autre, beaucoup plus déterminante, qui est constituée par le principe de raison suffisante lui-même. Ce principe énonce que, dans toute proposition vraie, qu’elle soit nécessaire ou contingente, universelle ou particulière, affirmative ou négative, la vérité doit être fondée a parte rei (pour ce qui concerne la chose dont il est question) dans la connexion du sujet avec le prédicat, plus précisément dans le fait que le prédicat est contenu formellement ou virtuellement dans le sujet. Toute proposition vraie est donc une identité explicite, ou une identité implicite qui peut être ramenée à une identité explicite par une suite d’applications de l’opération consistant à remplacer un terme par sa valeur supposée.
32Si la réduction peut être obtenue par une suite finie de substitutions de cette sorte, la proposition est nécessaire ; si elle ne peut l’être que par une suite infinie de substitutions, elle est contingente. Dans le cas de la proposition nécessaire, on a une suite de transformations qui aboutit en un nombre fini d’étapes à une égalité exacte. Dans le cas d’une proposition contingente, ce qu’on peut avoir dans le meilleur des cas est une suite infinie d’inégalités qui se rapprochent asymptotiquement de l’égalité exacte. On n’arrive jamais à l’identité complète, mais il est possible d’obtenir quelque chose d’équivalent, si l’on réussit à montrer que l’inégalité qui persiste peut être rendue aussi peu différente qu’on veut de l’égalité parfaite. Autrement dit, on démontre la vérité non pas en la produisant effectivement, mais en indiquant le moyen de rendre l’erreur aussi petite que n’importe quelle quantité donnée. Leibniz exprime ce point de la façon suivante : « Si, en ayant déjà continué la résolution du prédicat et continué la résolution du sujet, on ne peut certes jamais démontrer la coïncidence, mais que, de la résolution continuée et de la progression à laquelle elle donne naissance, ainsi que de sa règle, il ressort du moins qu’il n’apparaîtra jamais de contradiction, la proposition est possible. S’il apparaît, d’après la règle de progression dans la résolution, que la chose se réduit à ceci que la différence entre les choses qui doivent coïncider est moindre que n’importe quelle différence donnée, il est démontré que la proposition est vraie ; si, au contraire, il apparaît d’après la progression que rien de tel ne se produira jamais, il est démontré qu’elle est fausse, dans les nécessaires s’entend. » [RG, 243]
33Il faut donc, semble-t-il, distinguer, aussi bien dans le cas de l’analyse des termes que dans celui de l’analyse des propositions, non pas deux, mais trois possibilités.
341. La possibilité (pour les termes) et la vérité (pour les propositions) se manifestent de façon explicite et irrécusable au terme d’une analyse finie.
352. La résolution va à l’infini, mais d’une manière telle que nous pouvons tirer des conclusions déterminées de la règle selon laquelle elle progresse, et démontrer des vérités importantes à propos de ce qu’elle produirait ou ne produirait pas si on la continuait indéfiniment. On ne peut pas atteindre la limite vers laquelle converge une suite infinie de décompositions ; mais on peut éventuellement démontrer qu’elle converge vers cette limite.
363. La résolution va à l’infini, mais nous n’avons, dans l’hypothèse la plus optimiste, que les tout premiers éléments de la suite concernée et aucune idée de la loi d’engendrement à laquelle elle obéit, s’il y en a une, ce qui fait que nous ne pouvons rien démontrer à propos de ce que contiendra ou ne contiendra pas son développement ultérieur. Leibniz précise que, « si nous disons que la continuation de la résolution est possible à l’infini, alors du moins on peut observer si le progrès dans la résolution peut être ramené à une règle, auquel cas, même dans les termes complexes dans lesquels entrent des termes incomplexes résolubles à l’infini, on arrivera par la démonstration à une telle règle de progression » [RG, 243].
37Il semblerait donc que la distinction cruciale soit moins celle qui existe entre le cas où la résolution est finie et celui où elle va au contraire à l’infini, que celle qui existe entre les cas (1) et (2) d’une part, et le cas (3) d’autre part. Après tout, comme le fait remarquer Leibniz lui-même, dans la théorie des proportions irrationnelles nous obtenons bel et bien des démonstrations en bonne et due forme ; et ces démonstrations sont tout aussi finies que celles de l’arithmétique ordinaire. « Une proposition contingente vraie, explique-t-il, ne peut être réduite à des identiques ; elle est cependant démontrée en montrant qu’en continuant toujours plus loin la résolution on se rapproche certes perpétuellement de propositions identiques, mais sans arriver jamais à elles. C’est pourquoi il n’appartient qu’à Dieu, qui embrasse tout l’infini par son esprit, de connaître la certitude de toutes les vérités contingentes. » [RG, 277] L’avantage que Dieu a sur nous peut être décrit ainsi : « En Dieu est requise uniquement la résolution des concepts propres [sans aucun recours à des expériences], qui se fait toute en même temps chez lui. D’où il résulte que celui-là connaît même les vérités contingentes, dont la démonstration parfaite transcende tout intellect fini. » [Ibid.]
38On pourrait dire que la démonstration parfaite, qui effectue la réduction complète même dans le cas où celle-ci est infinie, nous met réellement sous les yeux la vérité, alors que la démonstration imparfaite nous démontre que la proposition est vraie, mais ne nous montre pas réellement sa vérité. Mais qu’est-ce qui nous empêche, malgré tout, de dire que nous pouvons nous-mêmes donner des propositions contingentes, à défaut de démonstrations parfaites, au moins des démonstrations imparfaites, comme nous le faisons pour les nombres irrationnels ? La réponse de Leibniz est que l’analogie qui existe entre le cas des vérités contingentes et celui des proportions irrationnelles se révèle justement boiteuse sur ce point : « Nous pouvons nous-mêmes démontrer qu’une certaine ligne s’approche perpétuellement d’une autre, et que deux quantités sont égales, même dans les asymptotes, en montrant ce qui se passera, aussi loin que l’on continue la progression. C’est pourquoi même les hommes pourront arriver à la certitude des vérités contingentes ; mais il faut répondre qu’il y a assurément une similitude, mais pas une correspondance à tous égards. » [RG, 279 ; cf. OFI, 18, 272-3]
39Revenons maintenant sur ce que dit exactement le principe de raison suffisante. Puisqu’il énonce que toute proposition vraie peut être réduite à une identité explicite par une analyse finie ou par une analyse infinie qui transcende nos capacités, mais que Dieu peut effectuer, il signifie que toute proposition vraie, qu’elle soit nécessaire ou contingente, est démontrable. Leibniz le formule, du reste, parfois explicitement de cette façon : « Rien n’est sans raison, ou encore il n’y a pas de proposition dans laquelle il n’y ait pas une certaine connexion du prédicat avec le sujet, ou encore qui ne puisse pas être démontrée a priori. » [GR I, 287 ; cf. OFI, 401-2] Toute proposition vraie est donc démontrable, sinon par nous, du moins par Dieu. Par ailleurs, Leibniz n’a évidemment aucun doute sur la vérité de la proposition réciproque : toute proposition démontrable est vraie. Les axiomes proprement dits, qui sont des identités explicites, sont vrais sans contestation possible. Et le principe de substituabilité des coïncidents, utilisé comme règle d’inférence, préserve la vérité. Il y a donc coïncidence entre la vérité et la démontrabilité si, du moins, on prend le concept de démontrabilité au sens large. Leibniz dit que « dans les propositions nécessaires, l’analyse étant continuée jusqu’à un certain point, on arrive à une égalité identique [æquatio identica] ; et cela même, à la rigueur géométrique, est démontrer la vérité ; mais dans les contingentes, il y a une progression de l’analyse à l’infini par des raisons de raisons, de sorte que l’on n’a assurément jamais une démonstration [parfaite], mais la raison de la vérité n’en demeure pas moins toujours, et n’est comprise parfaitement que de Dieu, qui seul parcourt entièrement une série infinie d’un coup de son esprit [uno mentis ictu] » [GR I, 303 ; cf. OFI, 408]. Si l’on se demande d’où provient l’infini dans les raisons, et donc la contingence, la réponse est que c’est toujours de l’obligation de faire entrer en ligne de compte le principe du meilleur. Même pour Dieu, le principe du meilleur n’est pas nécessitant, il est même le principe de la contingence. On peut, malgré cela, être tout à fait certain que Dieu a choisi le meilleur. Mais ce qui est certain n’est pas pour autant nécessaire.
40Comme on vient de le voir, une proposition contingente fausse est une proposition que nous ne pouvons pas réduire à une contradiction explicite par une analyse finie. Et c’est à cela que se réduit pour Leibniz le fait que sa fausseté, bien qu’elle soit certaine et connue de Dieu a priori, n’est cependant pas nécessaire. Mais elle n’en est pas moins bel et bien, elle aussi, réductible à une contradiction explicite, bien que ce soit seulement par une analyse infinie. Leibniz dit que ce qui est affirmé par une proposition contingente vraie « est assurément certain, mais pas nécessaire, parce qu’on ne peut jamais le ramener à une identique ou l’opposer à une contradictoire » [RG, 275]. Mais cela signifie simplement que, bien que la proposition soit réductible à une identité explicite, nous ne rencontrerons jamais celle-ci, puisque nous n’arriverons jamais, au mieux, dans la résolution qu’à des inégalités qui approchent de plus en plus l’égalité exacte. C’est ce qui permet à Leibniz de dire : « Un point commun à toutes les vérités est, selon mon opinion, que l’on peut toujours rendre raison d’une proposition non identique, une raison nécessitante dans les nécessaires, une raison inclinante dans les contingentes. » [GR II, 303] Dans l’analyse des propositions contingentes, on n’arrive jamais qu’à des raisons qui inclinent, si l’on peut dire, toujours plus et qui correspondent à des inégalités toujours plus réduites ; on ne parvient à aucun moment à la forme proprement nécessitante, qui est celle de l’identité complète.
41L’équivalence de la notion de vérité avec celle de démontrabilité implique comme conséquence immédiate que toute proposition est soit démontrable, soit réfutable. Pour toute proposition A, en effet, A est vrai ou A est faux, autrement dit (en vertu de la définition de la négation), A est vrai ou non-A est vrai, et par conséquent A est démontrable ou non-A est démontrable. Donc A est soit démontrable, soit réfutable. En outre, la non-démontrabilité de A équivaut à la démontrabilité de non-A, et la non-démontrabilité de non-A à la démontrabilité de A. En effet, si A n’est pas démontrable, A est faux ; dans ce cas-là, non-A est vrai, et donc démontrable. Et si non-A n’est pas démontrable, non-A est faux ; dans ce cas-là, A est vrai et donc démontrable.
42Il résulte de cela que, pour démontrer A, il suffit de démontrer que l’on ne peut pas démontrer non-A ; et, pour démontrer non-A, il suffit de démontrer que l’on ne peut pas démontrer A. Étant donné la conception que Leibniz a de la nature de la vérité et de la fausseté, dire que toute proposition est soit vraie, soit fausse, revient à dire que toute proposition est réductible à une identité explicite (auquel cas sa négation est réductible à une contradiction explicite), ou réductible à une contradiction explicite (auquel cas sa négation est réductible à une identité explicite). Si donc je peux démontrer que l’analyse de A, poussée aussi loin qu’on voudra, ne fera jamais apparaître une contradiction, j’aurai démontré que l’on ne peut pas démontrer non-A, et donc démontré A. Inversement, si j’ai démontré que l’analyse de A ne conduira jamais à une identité, j’aurai démontré que l’on ne peut pas démontrer A, et donc démontré non-A.
43C’est ce qui explique la manière dont Leibniz définit finalement le vrai et le faux : « Je définis ainsi le vrai, génériquement parlant [verum in genere] : A est vrai, si en mettant à la place de A sa valeur et en traitant à nouveau de la même façon que A tout ce qui entre dans la valeur de A, si du moins cela peut être fait, il n’apparaît jamais B et non-B, autrement dit une contradiction. Il résulte de cela que, pour que nous soyons certains de la vérité, il faut ou bien continuer la résolution jusqu’à des termes vrais en premier (ou du moins déjà traités par un tel processus, ou dont il est établi qu’ils sont vrais), ou bien démontrer à partir de la progression même de la résolution (autrement dit à partir d’une relation générale entre les résolutions précédentes et la suivante) que jamais une telle chose n’apparaîtra, aussi loin que l’on continue la résolution. C’est une chose dont il importe de se souvenir ; de cette façon, en effet, nous pouvons souvent être dispensés d’une longue continuation. Et il peut se faire que la résolution des lettres elle-même contienne quelque chose à propos des résolutions des suivantes, comme ici la résolution du vrai. » [OFI, 370-1 ; RG, 235-7] (Une chose que l’on sait à coup sûr à propos du vrai est que son analyse ne peut conduire qu’à du vrai et on peut, dans les cas favorables, savoir aussi ce genre de choses à propos de la résolution d’autres termes, sans même que celle-ci ait besoin d’être poursuivie très longtemps.)
44La définition générale que Leibniz donne ici du vrai s’applique à la fois au vrai, au sens usuel du terme, et au possible. Et elle justifie la décision, au premier abord un peu surprenante, qu’il a prise d’appliquer le même traitement aux deux notions. Démontrer un terme incomplexe vrai veut dire démontrer que son analyse ne conduira jamais à une contradiction. Mais pour démontrer une proposition vraie, il n’est pas toujours nécessaire de la ramener à des propositions vraies par soi ; il est suffisant et il peut être beaucoup plus commode de démontrer que son analyse, aussi loin qu’elle soit poussée, ne fera jamais apparaître aucune contradiction. De façon générale, pour décider une proposition A, il n’est heureusement pas toujours nécessaire de pousser jusqu’au bout, ni même de pousser très loin, l’analyse de A. Si l’on peut démontrer, par un raisonnement sur le processus de décomposition progressive lui-même, que l’on n’arrivera jamais à une identité explicite, on a du même coup démontré non-A ; et si l’on peut démontrer que l’on n’arrivera jamais à une contradiction, on a du même coup démontré A.
45Leibniz donne du faux une définition symétrique de la précédente : « Je définis comme le faux, génériquement parlant [falsum in genere], ce qui n’est pas vrai [ou encore ce qui contient des choses dans lesquelles apparaissent B et non-B]. C’est pourquoi, pour qu’il soit établi que quelque chose est faux, il est nécessaire qu’il soit l’opposé du vrai, ou qu’il contienne l’opposé du vrai, ou qu’il contienne une contradiction, à savoir B et non-B, ou que l’on démontre que, aussi loin que l’on continue la résolution, on ne peut pas démontrer qu’il est vrai. » [OFI, 371 ; RG, 237]
46Puisque la proposition vraie est, selon les termes de Leibniz, celle qui coïncide avec AB est B ou qui peut être réduite à AB est B – ce qui signifie, en vertu même de la notion de démonstration, que la proposition vraie est celle qui est démontrable –, la proposition fausse est celle qui ne coïncide pas avec AB est B ; c’est-à-dire qu’« une proposition fausse est la même chose qu’une proposition qui ne peut pas être démontrée » [RG, 231]. Leibniz ajoute que « les propositions de fait ne peuvent pas toujours être démontrées par nous, et sont par conséquent admises comme hypothèses » [ibid.].
47Dire qu’une proposition fausse est une proposition qui ne peut pas être démontrée semble, toutefois, entraîner une conséquence éminemment paradoxale. Il existe, spécialement en matière contingente, un bon nombre de propositions que nous sommes tout à fait incapables de démontrer ; mais cela ne nous autorise nullement à conclure qu’elles sont fausses. Sinon, il faudrait admettre que presque toutes les propositions contingentes sont fausses. La réponse est évidemment que ce qui démontre la fausseté de A ne peut effectivement pas être simplement notre incapacité de démontrer A, mais une démonstration de l’impossibilité de démontrer A. Or la situation générale dans le cas des propositions contingentes est celle-ci : nous ne sommes pas capables de les démontrer, et pas non plus de démontrer qu’elles ne peuvent être démontrées. Nous connaissons, pour un certain nombre d’entre elles, leur vérité ou leur fausseté de fait, mais nous n’en connaissons pas la raison complète, qui ne pourrait être donnée que par une démonstration ou une réfutation (une démonstration de l’impossibilité de démontrer A équivaut à une réfutation de A).
4. Liberté et contingence
48Leibniz est conscient des objections que l’on pourrait avoir envie de formuler contre l’idée qu’est vrai tout ce dont on ne peut pas démontrer qu’il est faux, et faux tout ce dont on ne peut pas démontrer qu’il est vrai. Ne serait-il pas plus naturel et plus raisonnable de dire que tout ce dont on ne peut pas démontrer qu’il est faux est non pas vrai, mais simplement possible, et que tout ce dont on ne peut pas démontrer qu’il est vrai, est non pas faux, mais tel que sa négation peut être vraie (ou est possible) ? Autrement dit, est-ce qu’on ne risque pas d’aboutir à une identification pure et simple du vrai avec le possible, et du faux avec l’impossible ou le contradictoire ?
49Cette difficulté, qui menace directement la réalité même de la contingence, est évoquée à deux reprises, dans les Recherches générales : « Sont possibles les propositions dont on peut démontrer que jamais dans leur résolution il n’apparaîtra de contradiction. Les propositions contingentes vraies sont celles qui ont besoin d’une résolution continuée à l’infini. Les propositions contingentes fausses sont, quant à elles, celles dont on ne peut démontrer la fausseté autrement que par le fait que l’on ne peut pas démontrer qu’elles sont vraies. Il semble douteux qu’il suffise pour démontrer la vérité qu’il soit certain qu’en continuant la résolution n’apparaîtra aucune contradiction. Il s’ensuivra, en effet, que tout possible est vrai. » [RG, 239]
50Leibniz rappelle que, pour lui, un terme vrai veut dire précisément un terme possible ; mais il admet que, pour les propositions, la chose est ou, en tout cas, peut sembler plus délicate, parce que bien des propositions qui pourraient être vraies ne sont pas vraies, et bien des propositions qui pourraient être fausses sont vraies : « Question : est-ce qu’est vrai tout ce dont on ne peut démontrer qu’il est faux ? ou bien est-ce qu’est faux tout ce dont on ne peut démontrer qu’il est vrai ? qu’en est-il donc des choses pour lesquelles on n’a ni l’un ni l’autre ? Il faut dire que le vrai et le faux peut toujours être démontré, au moins par une résolution à l’infini. Mais, dans ce cas-là, il est contingent ; autrement dit, il est possible que la proposition soit vraie ou possible qu’elle soit fausse ; et il en va de même dans le cas des notions : il est possible que dans la résolution à l’infini apparaissent des notions vraies ou des notions fausses, c’est-à-dire des notions qui doivent être admises à l’existence ou ne le doivent pas. Cela étant, si une notion est vraie, elle sera existante ; si elle est fausse, elle sera non existante. Toute notion impossible est fausse, mais toute notion possible n’est pas vraie ; c’est pourquoi sera fausse celle qui n’est ni ne sera, de même qu’est fausse une proposition de cette sorte, etc. À moins que peut-être nous préférions n’introduire aucune question d’existence dans ces choses, et notion vraie est ici la même chose que possible, fausse la même chose qu’impossible, sauf lorsqu’on dit par exemple Pégase existant. » [RG, 243-245n]
51On pourrait décider d’appeler « vraie » une notion qui est simplement possible, mais en interprétant le possible au sens diodoréen. Une notion vraie serait alors une notion qui a été, est, ou sera exemplifiée du point de vue existentiel. Ce possible-là est, pour Leibniz, la même chose que l’existant, si l’on entend par existant ce qui est compatible avec le meilleur. Mais il tient par-dessus tout à distinguer le possible, compris dans ce sens-là, du possible au sens logique ou géométrique, qui est une notion beaucoup plus vaste et qui se confond avec le non-contradictoire. Tout terme possible au deuxième sens n’est pas pour autant possible au sens diodoréen du terme : il y a une infinité de possibles qui ne se réaliseront jamais. Que l’on choisisse d’appeler vraie une notion qui est simplement possible logiquement ou, au contraire, une notion existante (au sens de « possible existentiellement »), cette distinction doit de toute façon être maintenue.
52Il n’en est pas moins vrai que, pour Leibniz, la différence entre un terme impossible et un terme faux ou inexistant se ramène simplement à la différence entre un terme dont l’impossibilité peut être démontrée par une analyse finie et un terme dont l’impossibilité ne peut être démontrée que par une analyse infinie : « A = A non-B est l’universelle négative. D’où il suit que la particulière affirmative est fausse, autrement dit que AB est un terme impossible, ou plutôt faux (si, en effet, on ne peut démontrer cela parfaitement en résolvant à l’infini, il est faux, et non impossible). » [RG, 273] Leibniz se rend évidemment compte du danger que l’universelle négative apparaisse comme exprimant une impossibilité toutes les fois qu’elle est vraie. Et il l’écarte de la façon suivante : « La proposition vraie est celle qui peut être démontrée ; la proposition fausse, celle qui n’est pas vraie ; la proposition impossible, celle dans laquelle entre un terme contradictoire ; la proposition possible, celle qui n’est pas impossible. Est-ce que, par conséquent, toute universelle négative n’est pas impossible ? Il semble en être ainsi parce qu’on entend la chose des notions, et non des choses existantes, comme si je dis Aucun homme n’est un animal, je ne l’entends pas seulement des hommes existants, mais il suivra de là que ce qui est nié d’un être singulier comme Pierre est nécessairement nié de lui. Par conséquent, il faut nier que toute proposition universelle négative soit impossible, et on peut répondre à l’objection que A contient non-B peut être prouvé ou démontré soit par une résolution parfaite, soit uniquement par une résolution continuable à l’infini ou toujours imparfaite. » [RG, 275 ; cf. PS IV, 437-8]
53Considérons la proposition universelle négative Aucun homme n’est non-pécheur. Elle peut être comprise et on a tendance à la comprendre comme signifiant qu’aucun homme possible n’est non-pécheur. Elle semble alors énoncer une impossibilité ; et si l’on dit d’un individu déterminé qu’il n’est pas non-pécheur, on le dit alors nécessairement de lui. Mais on peut également comprendre la proposition comme portant non pas sur la notion d’humanité elle-même mais sur ce qui l’exemplifie dans le monde que Dieu a choisi, c’est-à-dire sur les hommes existants. On est alors beaucoup moins tenté de considérer qu’elle énonce une impossibilité, parce qu’il n’aurait sans doute pas été contradictoire que Dieu créât un monde dans lequel il y aurait eu des hommes non-pécheurs. Ou en tout cas – et c’est le point important pour Leibniz – il est impossible de démontrer par une analyse finie que l’existence d’hommes non-pécheurs impliquerait une contradiction. Il ne nous est donc pas possible de réduire à une impossibilité la supposition de l’existence d’hommes non-pécheurs, bien que cela puisse être fait par quelqu’un qui serait capable de poursuivre l’analyse à l’infini. Leibniz dit qu’« est faux un terme ou une proposition qui contient des opposés, quelle que soit la manière dont on le prouve ; est impossible ce qui contient des opposés, la preuve étant donnée par une réduction dans un nombre fini de termes. Il convient par conséquent de distinguer A = AB, dont la preuve a lieu par une résolution finie, et A = AB, dont la preuve a lieu par une résolution à l’infini. Tout ce qu’on dit du nécessaire, du possible, de l’impossible et du contingent procède de cette distinction ». [RG, 275-7] Mais cette base n’est-elle pas justement trop fragile pour supporter la charge considérable que Leibniz lui demande d’assumer ? Autrement dit, si ce qui empêche une proposition universelle négative en principe contingente d’exprimer en réalité une impossibilité pure et simple est uniquement le fait que nous ne sommes pas en mesure de démontrer (au sens strict) qu’elle est impossible, est-ce suffisant pour que l’on puisse être tout à fait rassuré sur ce point ?
54Leibniz oppose le cas de la proposition Le cercle le plus grand des isopérimètres est un être nécessaire (Circulus isoperimetrorum maximus est Ens necessarius) à celui de la proposition L’homme pécheur est un être nécessaire (Homo peccans est Ens necessarius). La première proposition est vraie, mais la deuxième est fausse, parce qu’on ne peut donner aucune démonstration de la proposition universelle Tout homme pèche. En revanche, la proposition L’homme pécheur existant est un être nécessaire est vraie ; mais la nécessité est uniquement celle du conséquent [cf. OFI, 271-2]. Il est vrai que L’homme existant non pécheur est non-étant ou impossible ; mais cela n’est vrai que sous l’hypothèse qu’ajoute le mot « existant », qui est que l’on parle d’un homme tel qu’on peut le rencontrer dans le monde réel. Leibniz cherche à privilégier « l’expression des propositions par des universaux ou des notions » [OFI, 271], sans pour autant risquer de transformer toutes les propositions vraies en propositions nécessaires. Pour cela, il soutient que les propositions universelles affirmatives que l’on pourrait appeler existentielles – lorsqu’elles sont exprimées en termes d’universaux ou de notions comme L’homme non pécheur n’est pas existant ou L’homme existant non pécheur est non-étant – ne deviennent pas pour autant nécessaires absolument parlant, mais seulement hypothétiquement nécessaires. La notion d’« homme », considérée en elle-même, ne nous permet pas de démontrer la proposition Tout homme pèche. Mais nous pourrions déduire cette proposition de la notion de l’« homme », considéré comme un élément de la série des choses existantes, si nous étions capables d’effectuer une analyse infinie. Cela revient précisément à dire que la proposition n’est pas nécessaire mais contingente.
55Une difficulté particulière se présente cependant à propos de l’expression des propositions universelles nécessaires elles-mêmes per universalia et notiones (par universaux et notions), c’est-à-dire à l’aide du seul prédicat « étant » et de sa négation « non-étant ». Leibniz note que la proposition L’homme pécheur est pécheur, qui est identique, est plus facile à exprimer par l’impossible et la contradiction que par le nécessaire. On peut la mettre sans difficulté sous la forme L’homme pécheur non-pécheur est non-étant. Mais si l’on dit que L’homme pécheur pécheur est un être nécessaire, il faut comprendre que (L’homme pécheur) pécheur est un être nécessaire. Sans quoi, on pourrait s’imaginer qu’il est possible de remplacer cette proposition par L’homme pécheur est un être nécessaire [cf. OFI, 272]. De même, Tout animal est un animal peut être écrit sous la forme L’animal animal est un être nécessaire. Mais il n’en résulte pas que Animal est un être nécessaire. Ce qui est un être nécessaire est, remarque Leibniz, Non (animal (non-animal)). Il en résulte qu’« on ne peut pas toujours remplacer plusieurs termes équivalents apposés l’un à l’autre par un seul » [OFI, 272]. Dans l’exemple cité, l’animal n’est pas nécessaire, mais si quelque chose est un animal, alors il l’est nécessairement. Ce qui est nécessaire n’est pas l’animal, mais l’animal qui est un animal.
56Puisque Leibniz soutient que « la vérité est toujours soit expressément soit implicitement identique » [RG, 460], la fausseté est toujours soit expressément soit implicitement contradictoire. La différence cruciale est, comme on a dit, entre les cas dans lesquels l’identité, resp. la contradiction peuvent être exhibées en un nombre fini d’étapes et ceux dans lesquels elles ne le peuvent pas. « A contient B est une proposition vraie, si A. non-B infère une contradiction. » [OFI, 407] Si A est B est vrai, on a A = AB. Dans ce cas, en substituant AB à A dans A. non B, on obtient AB. non B, qui est une contradiction. En soutenant que toute proposition, qu’elle soit nécessaire ou contingente, est susceptible de recevoir une démonstration a priori (ce qu’exige le principe de raison), Leibniz n’est-il pas allé déjà beaucoup plus loin dans le sens du nécessitarisme qu’il ne l’aurait souhaité ? C’est la question que se sont posée et que continuent à se poser un bon nombre de ses lecteurs. « Le vrai, dit-il, est soit nécessaire, soit contingent. Le vrai nécessaire peut être su par une série finie de substitutions ou par la coïncidence des commensurables, le vrai contingent par une série infinie, ou par la coïncidence des incommensurables. Nous rapportons l’explicable au commensurable, l’inexplicable à l’incommensurable. Le vrai nécessaire est celui dont la vérité est explicable, le vrai contingent celui dont la vérité est inexplicable. » [Ibid., 408] Mais on peut avoir le sentiment que la différence entre le vrai nécessaire et le vrai contingent se réduit finalement à la façon différente dont ces deux espèces différentes de vérité peuvent être sues et, qui plus est, sues par nous, ce qui risque de la faire apparaître comme elle-même contingente et beaucoup plus petite qu’elle ne l’est en réalité.
57Qu’elle soit nécessaire ou contingente, la proposition vraie est toujours, nous dit Leibniz, celle qui a la meilleure ou la plus grande raison. Et la plus grande raison est celle qui est exprimée dans la forme de l’identité explicite partielle ou totale entre le concept du sujet et celui du prédicat (A = AB, ou A = A). Mais est-il suffisant, pour conjurer le risque que la proposition contingente vraie devienne du même coup nécessaire, de remarquer que, même si elle est la proposition qui a la plus grande raison, dans ce sens-là, nous sommes cependant dans l’impossibilité de démontrer que c’est effectivement le cas ? C’est apparemment la réponse dont Leibniz nous suggère de nous contenter. Pour que la proposition contingente vraie A devienne nécessaire, il faudrait que nous soyons en mesure de démontrer qu’elle est celle qui a la meilleure raison : « Si la définition de la proposition nécessaire est que sa vérité peut être démontrée selon la rigueur géométrique, alors il peut, il est vrai, se faire que cette proposition puisse être démontrée : Toute vérité et seule la vérité a une raison plus grande, ou ceci : Dieu agit toujours de la façon la plus sage. Mais on ne pourra pas pour autant démontrer cette proposition : La proposition contingente A a une raison plus grande, ou La proposition contingente A est conforme à la sagesse divine. Et par conséquent il ne s’ensuit pas non plus que la proposition contingente A est nécessaire. Et c’est pourquoi quand bien même Dieu choisirait nécessairement le meilleur, le meilleur ne serait pas pour autant nécessaire. […] Ce qui serait concédé est qu’il est nécessaire que Dieu choisisse le meilleur, ou que le meilleur est nécessaire, mais il n’en résulte pas que ce qu’il choisit est nécessaire, parce qu’il n’y a pas de démonstration que ce soit le meilleur. » [GR I, 305-6]
58De la proposition Nécessairement (si Dieu choisit quelque chose, ce qu’il choisit est le meilleur), on peut apparemment déduire que Nécessairement (si Dieu a choisi de rendre vraie une proposition contingente donnée A, A avait une raison plus grande que sa négation ou correspondait à ce qui est le meilleur). Mais on ne peut inférer de la deuxième proposition que Nécessairement (A avait une raison plus grande que sa négation ou correspondait à ce qui est le meilleur), parce qu’il faudrait pour cela être capable de démontrer que A avait une raison plus grande ou que sa vérité faisait partie de ce qui est le meilleur ou le plus sage. La connaissance que nous parvenons à acquérir des choses qui existent nous permet de connaître jusqu’à un certain point les choix que Dieu a faits, mais il n’en résulte pas que nous soyons en mesure de démontrer qu’ils étaient effectivement les meilleurs et par conséquent ceux qu’il devait nécessairement faire.
59Leibniz est convaincu que, si l’on tient suffisamment compte de la distinction qui doit être faite entre la nécessité logique de la conséquence et celle du conséquent, l’explication qu’il donne de la différence entre les vérités nécessaires et les vérités contingentes ne lui enlève rien de son caractère fondamental et essentiel. « Dans les vérités contingentes, écrit-il, bien que le prédicat soit inhérent au sujet, cela ne peut cependant jamais être démontré de lui, et la proposition ne peut jamais être ramenée à une égalité ou une identité, mais la résolution va à l’infini, Dieu seul voyant non certes la fin de la résolution qui n’existe pas, mais néanmoins la connexion [des termes] et donc l’involution du prédicat dans le sujet, parce qu’il voit tout ce qui est inhérent à la série ; de plus, cette vérité elle-même est née en partie de son intellect, en partie de sa volonté. Et elle exprime à sa façon sa perfection infinie, et l’harmonie de toute la série des choses. 5 » Par conséquent, même s’il est vrai qu’il y a un sens du mot « démonstration » auquel on peut dire que les propositions contingentes peuvent, elles aussi, êtres démontrées (par Dieu) ou, en tout cas, peuvent faire l’objet d’une connaissance a priori par la simple analyse des concepts, elles n’en conservent pas moins un statut bien différent de celui des propositions nécessaires. Celles-ci, en effet, se bornent (si l’on peut dire) à exprimer des caractéristiques qui sont communes à tous les mondes concevables, alors que les premières ont quelque chose à voir en plus avec la perfection infinie de Dieu, la perfection finie, mais indépassable, du monde qu’il a choisi et l’acte libre par lequel il a été produit.
60Il arrive à Leibniz de parler des vérités contingentes, qui n’ont pas de nécessité autre que morale, comme de vérités « libres » : « Les vérités sont tantôt des vérités démontrables, ou nécessaires, tantôt des vérités libres ou contingentes, qui ne peuvent être réduites par aucune analyse à une identicité, comme à une mesure commune. 6 » Ces vérités sont néanmoins l’objet, de la part de Dieu, d’une science authentique que Leibniz tient particulièrement à distinguer de quelque chose comme la science expérimentale d’un développement illimité ou d’une suite infinie, considérés de façon extensionnelle. Ce qui est crucial n’est pas que Dieu soit en mesure de percevoir un nombre beaucoup plus grand de termes que nous, mais qu’il soit capable de percevoir un nombre beaucoup plus grand de raisons. La science dont il s’agit est « une connaissance a priori (par les raisons des vérités) » qui, dans la mesure où elle est une connaissance des existants et non pas seulement des possibles, implique « la considération de sa volonté libre et de ses décrets, dont le premier est de tout faire de la meilleure façon, et avec la raison la plus haute » 7.
61Il y a bien deux espèces de vérité pour Leibniz : les vérités nécessaires et les vérités contingentes. Mais on risquerait de donner une idée fausse de ce qui les distingue si on disait, dans le vocabulaire que nous avons pris l’habitude d’utiliser, que les premières sont des vérités « conceptuelles » et les secondes des vérités « factuelles ». Car, pour Leibniz, il n’y a pas deux espèces différentes de fondement de la vérité, un pour les vérités nécessaires (les concepts) et un autre pour les vérités contingentes (les faits). Toutes les vérités doivent être considérées finalement comme étant de nature conceptuelle et il en va de même des connaissances : toute connaissance authentique est une connaissance par concepts ; et ce n’est pas attenter à l’importance et à la dignité de la connaissance empirique, dont personne n’était plus convaincu que Leibniz, que de remarquer que l’expérience n’est au fond que le substitut qui a été octroyé aux êtres finis que nous sommes pour compenser l’absence de maîtrise de l’infinité dans les raisons.
Notes
I Les deux choses sont pour Leibniz à peu près interchangeables.
II « Homo est animal » peut être considéré comme équivalent à « Homo est animal = hoc verum ». Leibniz conçoit est et verum comme des dispositifs qui permettent de transformer à volonté un terme en proposition (en passant, dans le cas où A est un terme, de A à A est ou A est vrai) ou une proposition en un terme nouveau à partir duquel peut être formée une nouvelle proposition (en passant, dans le cas où A est une proposition, de A à que A est vrai (A verum esse) ou que A est (A esse), puis, de là, éventuellement à Que A est vrai, est vrai ou Que A est, est). Sur ce point, cf. RG, § 198, 7.
III L’impossible dans les incomplexes est le non-étant (non-ens) ; dans les complexes, c’est le faux.
IV Le signe « ∞ » représente ici la coïncidence.
V Voir également OFI, 421 : ce qui contient un terme comme A et non A est « non étant ou est un terme faux, par exemple si on avait C ∞ AB non B, C serait non étant ». Dans le cas des propositions, Leibniz s’appuie sur l’équivalence : A est faux ↔ {¬A ↔[A → (B & ¬B)]}.
VI En effet : ¬A → [A → (B. non-B)] est équivalent à (¬A . A) → (B. non-B).
Note de fin
1 Sur ce qu’il faut entendre par là, lire les Recherches générales, § 144-145.
2 Ernst Schröder, Der Operationskreis des Logikkalkuls (1877), Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1966, p. 7.
3 G. W. Leibniz, Allgemeine Untersuchungen über die Analyse der Begriffe und Wahrheiten, herausgegeben, übersetzt und mit einem Kommentar versehen von Franz Schupp, Felix Meiner Verlag, Hamburg, 1982, p. 172.
4 Sur la difficulté particulière que présente l’analyse des termes, cf. OFI, 514, 539.
5 « De libertate », in G. W. Leibniz, Nouvelles lettres et opuscules inédits, précédés d’une introduction par Louis Alexandre Foucher de Careil, Georg Olms, Hildesheim/New York, 1971, p. 182.
6 Ibid., p. 184
7 Ibid.
Pour citer cet article
Référence papier
Jacques Bouveresse, « Vérité et démontrabilité chez Leibniz », in Essai V - Descartes, Leibniz, Kant, Marseille, Agone (« Banc d'essais »), 2006, p. 79-111.
Référence électronique
Jacques Bouveresse, « Vérité et démontrabilité chez Leibniz », in Essai V - Descartes, Leibniz, Kant, Marseille, Agone (« Banc d'essais »), 2006, [En ligne], mis en ligne le 11 mars 2009, Consulté le 23 novembre 2009. URL : http://agone.revues.org/index213.html