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I-Raison et vérité

Descartes, le « bon sens », la logique et les vérités éternelles

p. 43-77

Texte intégral

1. Descartes, Leibniz et la démonstration

1Dans un article publié en 1986, Ian Hacking a opposé de la façon suivante l’attitude de Descartes et celle de Leibniz à l’égard de la démonstration : « Leibniz savait ce qu’est une démonstration ; Descartes ne le savait pas. Si l’on prête à ce fait l’attention qu’il exige, cela aide à résoudre certains problèmes d’interprétation qui ont tendance à devenir insaisissables. Ce n’est pas mon but principal aujourd’hui. Je m’intéresse davantage à la préhistoire qu’à l’histoire. Le concept leibnizien de la démonstration est presque le même que le nôtre. Il n’a pas existé jusqu’à une époque qui est en gros la sienne. Comment est-il devenu possible ? Descartes, d’après Leibniz, a fourni la plus grande partie de la technologie requise pour la formation de ce concept et cependant a délibérément reculé devant tout ce qui pouvait ressembler à notre concept de démonstration. Je soutiens que Descartes, dans son rejet implicite de notre idée de démonstration, et Leibniz, dans son attachement excessif à elle, essaient tous les deux de remédier à un malaise fondamental dans l’épistémologie du xviie siècle. Je parle d’un malaise plutôt que d’un problème ou d’une difficulté, car il n’était pas formulé et n’était peut-être pas formulable. […] Leibniz était sûr que la vérité mathématique est constituée par la démonstration, alors que Descartes estimait que les conditions de la vérité n’ont rien à voir avec la démonstration. Nous reconnaissons ces doctrines qui s’affrontent dans une bonne partie de la philosophie des mathématiques de l’époque moderne. La manière dont les deux figures historiques ont déterminé un bon nombre de nos préoccupations les plus récentes n’est pas passée inaperçue : Yvon Belaval commence délibérément son livre important sur Leibniz et Descartes par un long chapitre intitulé “Intuitionnisme et formalisme”. Il y a là une quantité d’autres parallèles à tracer. Je trouve que ce n’est pas une coïncidence, car je suis tourmenté par une conjecture, à la fois non démontrée et dépourvue d’originalité, selon laquelle l’“espace” d’un problème philosophique est largement fixé par les conditions qui l’ont rendu possible. Un problème est individué uniquement par l’utilisation de certains concepts, et les conditions de l’émergence de ces concepts déterminent de façon presque embarrassante ce qui peut être fait avec eux. Les solutions, les contre-solutions et les dissolutions sont élaborées dans un espace dont les propriétés ne sont pas reconnues, mais dont les dimensions sont aussi solidement assurées qu’elles sont inconnues. 1 »

2À la fin de son article, Hacking fait un rapprochement à la fois suggestif et surprenant, qui est destiné à montrer à quel point les discussions contemporaines continuent effectivement à être déterminées par les mêmes concepts et, plus précisément, par les conditions spécifiques dans lesquelles les concepts en question sont apparus : « Prenez, par exemple, la plus nouvelle en apparence et également la plus passionnément disparate des contributions, les Remarques sur les fondements des mathématiques de Wittgenstein. Il nous invite à détruire notre façon de parler elle-même, et à abandonner le discours qui parle de vérité mathématique et de connaissance des mathématiques et de leurs objets. On nous demande d’essayer un langage dans lequel les mathématiques ne sont pas “vraies”, nos découvertes ne sont pas une “connaissance” et les “objets” ne sont pas des objets. En dépit de cette tentative étrange et déconcertante pour se débarrasser de toutes ces notions héritées, Wittgenstein finit avec un dilemme qui est essentiellement leibniziano-cartésien. D’un côté, il suggère, de la façon la plus radicale qui soit, que la “vérité” mathématique est constituée par la démonstration, et, de l’autre, il est obsédé par des intuitions qui sont justement celles qui ont tellement impressionné Descartes. Pratiquement personne ne pense qu’il a réussi une synthèse de ces notions. Il y a une raison à cela. Il rejette ce triptyque ancien : vérité, connaissance et objets, mais travaille dans l’espace créé par cette période antérieure et est conduit à utiliser les concepts créés à ce moment-là pour la résolution de tout autres problèmes, et qui sont entravés par le besoin que l’on a d’eux pour résoudre ces autres problèmes. La “bouteille à mouches” a reçu sa forme de la préhistoire, et seule l’archéologie peut rendre visible cette forme. 2 »

3Ce qui est, si l’on veut, « leibnizien », dans l’attitude de Wittgenstein, est le fait de considérer non seulement la vérité, mais même la signification de la proposition mathématique (dont la démonstration fournit une sorte d’analyse) comme liées intrinsèquement à la démonstration ; et ce qui est « cartésien », aux yeux de Hacking, est, je suppose, le fait qu’il peut donner l’impression de remplacer la doctrine de la création divine des vérités éternelles par l’idée que les vérités nécessaires sont en réalité créées par nous, en ce sens qu’elles sont acceptées et instituées comme règles au terme du processus de la démonstration et pourraient éventuellement être différentes si nous étions disposés à utiliser ou avions des raisons d’utiliser un concept différent de ce qui peut être reconnu comme une démonstration correcte. Si la vérité mathématique est essentiellement le produit de la démonstration, c’est, semble-t-il, la notion de vérité elle-même qui devient problématique, puisque la démonstration, telle que la comprend Wittgenstein, effectue une détermination de sens et ne nous conduit pas à la reconnaissance d’un fait mathématique qui pourrait être considéré comme réalisé indépendamment d’elle.

4Je ne me propose pas, bien entendu, de discuter ici la question de savoir si la description que donne Hacking du projet de Wittgenstein, dans les Remarques sur les fondements des mathématiques, correspond ou non aux intentions réelles de l’auteur, et pas non plus celle de savoir si nous avons besoin de l’archéologie, au sens de Foucault, pour comprendre les raisons de l’échec d’une tentative comme la sienne, qui provient, selon Hacking, du fait que nous continuons à traiter et sommes d’une certaine façon contraints à traiter des problèmes comme ceux qui se posent à nous aujourd’hui en philosophie des mathématiques dans des termes et à l’aide de concepts qui ont été produits initialement pour résoudre des problèmes d’une tout autre nature. Ce qui m’intéresse n’est pas la manière dont ce que Hacking appelle l’« espace » du problème ou de la problématique philosophiques, tel qu’il le décrit, peut continuer à déterminer et éventuellement à hypothéquer les tentatives de solutions actuelles, mais plutôt la description qu’il donne de cet espace.

5Il y a au moins trois raisons pour lesquelles la présentation qu’il donne des positions respectives de Descartes et de Leibniz sur la question de la démonstration peut sembler à première vue très surprenante :

61. Descartes a dit et répété que le modèle à imiter pour avoir une chance de parvenir à la vérité en philosophie était celui de la démonstration mathématique. Il ne s’agissait de rien de moins, pour lui, que de procurer à la métaphysique des démonstrations qui soient, comme il le dit, « aussi mathématiques et évidentes » que celles des mathématiques elles-mêmes. Il est pour le moins difficile, dans ces conditions, d’accepter l’idée qu’il ne savait pas ce qu’est une démonstration dans notre sens et ne croyait pas que la vérité puisse avoir un lien essentiel avec la démonstration. Comme le dit Gueroult, « la philosophie cartésienne se veut rigoureusement démonstrative. Son auteur ne cesse de répéter qu’il suit l’ordre des géomètres, qu’il n’y a pas de bonne démonstration en philosophie qui ne soit pas mathématique, que son œuvre ne peut être saisie par ceux qui n’ont pas l’esprit mathématique. Il tombe, par conséquent, sous le sens qu’on doit s’efforcer de comprendre cette philosophie par ses démonstrations, et ces démonstrations selon leur esprit mathématique 3 ». Puisque Descartes dit, dans l’Abrégé des Méditations, qu’il a « tâché de ne rien écrire dans ce traité, dont [il n’eût] des démonstrations très exactes » [AT VII, 12-13], on est, semble-t-il, autorisé à supposer qu’il savait ou, en tout cas, croyait savoir ce qu’est une démonstration exacte. Mais, en même temps, il est clair que le problème ne peut pas être de savoir si Descartes fournit ou non en philosophie des démonstrations qui peuvent être considérées réellement comme mathématiques selon nos critères (et même déjà ceux de Leibniz, qui est effectivement on ne peut plus sceptique sur le caractère réellement démonstratif de la démarche cartésienne), mais plutôt, étant donné que les démonstrations qu’il propose sont pour lui indiscutablement mathématiques, de savoir ce qu’il entend exactement par « démonstration » dans les mathématiques elles-mêmes et par « mathématique » dans l’expression « démonstration mathématique ».

72. Comme le remarque Hacking lui-même, si on compare les façons de faire respectives de Descartes et de Leibniz, on se rend compte que ce n’est pas, de façon générale, le deuxième mais plutôt le premier qui se montre, dans la pratique, le plus strict et le plus respectueux des exigences de la démonstration exacte. Leibniz, qui est souvent trop rapide, étourdi ou négligent, n’est pas forcément un modèle à imiter lorsqu’il s’agit de produire des démonstrations formellement correctes. Descartes, qui méprisait le formalisme, est, en revanche, presque toujours formellement correct.

83. Il est à première vue étrange d’attribuer à Descartes l’idée que la démonstration est sans pertinence réelle et sans importance pour la vérité et d’approuver en même temps la façon qu’a Belaval de rattacher Descartes à une tendance que l’on peut qualifier d’« intuitionniste », au sens large, alors que Leibniz devrait être considéré au contraire, pour sa part, comme un précurseur direct du formalisme. Car ce qui caractérise l’intuitionnisme en philosophie des mathématiques semble être justement une façon de lier la question de la vérité à celle de la démontrabilité, qui interdit de donner un sens quelconque à l’idée de propositions mathématiques qui pourraient être vraies ou fausses en dépit du fait que nous ne sommes pas et ne serons peut-être jamais en mesure de les démontrer ou de les réfuter. Pour un intuitionniste, être vrai, lorsqu’il est question de la vérité d’une proposition mathématique, ne peut signifier autre chose qu’être démontré ou, en tout cas, démontrable. Et cela semble impliquer clairement qu’il est impossible de parler d’une indépendance de la vérité mathématique par rapport à la démonstration. L’idée d’une indépendance de cette sorte semble être, au contraire, ce qui caractérise la position du réalisme mathématique et ce que les intuitionnistes lui reprochent. Pour le réalisme, la relation qui existe entre la vérité et la démontrabilité est une relation externe : il est tout à fait concevable qu’il existe des propositions mathématiques qui sont vraies, en dépit du fait qu’elles ne seront peut-être jamais démontrées. Pour l’intuitionnisme, la relation est, au contraire, interne et essentielle : une proposition mathématique vraie est une proposition que nous sommes en mesure de vérifier, autrement dit de démontrer.

9La réponse à ces trois types d’objection possibles ne présente, heureusement, pas de difficulté majeure. Ce que Hacking suggère n’est, bien entendu, pas littéralement que, pour Descartes, la démonstration n’avait pas d’utilité réelle en mathématiques ou en philosophie, ou qu’il ne considérait pas comme essentiel d’être capable de distinguer entre une démonstration correcte et une démonstration erronée, mais seulement qu’il ne considérait pas comme indispensable ou même simplement utile de disposer d’un concept précis et explicite de ce qu’est une démonstration et, en tout cas, n’a anticipé ni de près ni de loin la conception de la démonstration qui est devenue dominante aujourd’hui, alors que le concept leibnizien de la démonstration est déjà presque exactement le nôtre. Dans les Regulæ, après avoir expliqué que nous parvenons à la connaissance des choses par deux chemins qui sont l’expérience et la déduction, Descartes ajoute : « Il faut noter […] que les expériences sont souvent trompeuses, mais que la déduction, ou la simple inférence d’une chose à partir d’une autre, peut sans doute être omise si on ne l’aperçoit pas, mais ne saurait être mal faite même par l’entendement le moins capable de raisonner. Mais, pour y réussir, je trouve d’une médiocre utilité ces chaînes par lesquelles les dialecticiens pensent gouverner la raison humaine, bien que je ne nie pas qu’elles soient excellentes pour d’autres usages. En effet, toutes les erreurs où pensent tomber les hommes (et non les bêtes, bien entendu) ne proviennent jamais d’une mauvaise inférence, mais seulement de ce qu’on admet certaines expériences peu comprises, ou qu’on porte des jugements à la légère ou sans fondement. » [Regulæ, II : AT X, 365] Puisque Descartes pense que ce qui caractérise les inférences est le fait de n’être pas faites du tout ou, lorsqu’elles sont faites, de l’être correctement même par les esprits les moins doués et les moins éduqués, il est tout à fait logique de sa part de considérer que la formulation d’un ensemble de règles formelles qui auraient pour but de déterminer à quelles conditions une déduction peut être considérée comme valide n’est pratiquement d’aucun secours lorsqu’il s’agit de maintenir la raison sur le chemin de la vérité. Comme il l’explique dans l’Entretien avec Burman [AT V, 175], non seulement la logique (ou, en tout cas, la dialectique, qui traite formellement de toutes choses en nous détournant de la nature même des choses) ne constitue pas une aide pour ce qu’il appelle le « bon sens », mais elle a plutôt pour effet de le pervertir ou de le détruire. Ce qui importe n’est pas que nous disposions d’un concept savant de la déduction, dont les logiciens seraient chargés de déterminer les caractères, mais uniquement que nous soyons assurés de pouvoir reconnaître une déduction correcte lorsque nous en rencontrons une. Et, sur ce point, Descartes n’a manifestement aucune inquiétude.

10Il ne considère pas seulement que l’évidence et la certitude de l’intuition « ne sont pas requises seulement pour de simples affirmations, mais aussi pour toute espèce de raisonnement » [Regulae, III : AT X, 369]. Elles sont aussi, en un certain sens, suffisantes. Lorsqu’on effectue un modus ponens, il faut, bien entendu, voir par intuition non seulement que « A » et « Si A, alors B » sont vrais, mais également que « B » suit nécessairement de ces deux propositions. Mais c’est une chose qui peut être vue aussi facilement et aussi sûrement que la vérité de « A » ou de « Si A, alors B ». On est, bien entendu, obligé de faire – et c’est une chose particulièrement évidente dans le cas les mathématiques – une différence entre ce qui peut être connu avec certitude et ce qui est évident, puisque Descartes admet que, si les premiers principes peuvent être connus par intuition, les conséquences éloignées ne peuvent l’être, en revanche, que par déduction. Si l’on prend, par exemple, le cas d’un théorème caractéristique de la théorie des nombres, comme le théorème de Fermat, ce qu’il faut dire est, semble-t-il, qu’il est connu avec certitude, mais certainement pas qu’il est évident. Il serait, en effet, difficile de prétendre que la démonstration nous conduit dans tous les cas de ce genre non seulement à la certitude, mais également à la perception claire et distincte de la vérité de la conclusion. Ou, en tout cas, si une perception de cette sorte est possible, elle ne semble, justement, pas pouvoir être séparée de la perception claire et distincte des étapes du processus démonstratif qui a conduit à la reconnaissance de la vérité de la proposition. On peut dire de la plupart des propositions mathématiques que nous reconnaissons comme vraies que nous savons avec certitude qu’elles sont vraies parce que nous savons qu’elles ont été démontrées, mais on ne voit pas comment la reconnaissance de la vérité pourrait être transformée en une perception claire et distincte ou, en tout cas, en une chose qui se rapproche suffisamment de cet idéal, sans que cela implique la réeffectuation de ce que Descartes appelle « le mouvement continu et ininterrompu de la pensée » qui, dans le cas idéal, nous conduit, par un chemin qui reste fondamentalement celui de l’intuition, des prémisses à la conclusion de la démonstration.

11Cela pose évidemment un problème pour une interprétation comme celle de Hacking ; et c’est un problème dont j’aurai à reparler dans un instant. Mais ce qui est clair est que Descartes n’accorde pas une importance extrême à la différence qui peut être faite entre ce qui est connu directement par intuition et ce qui est connu seulement par déduction. La distinction est, pour lui, de toute évidence, relative et Hacking n’hésite pas à dire qu’elle est même essentiellement psychologique. Un homme peut avoir besoin de déduire là où un autre intuitionne, et ce qui est connu à un moment donné par déduction peut à un autre moment être intuitionné. Descartes souligne lui-même qu’« il y a des choses qui sont ainsi connues sans preuves par quelques-uns, que d’autres n’entendent que par un long discours et raisonnement » [Secondes réponses : AT VII, 163-164]. Le lecteur moderne a tendance à assimiler l’intuition à la reconnaissance de la vérité des axiomes et la déduction à celle de la vérité des théorèmes ; mais, comme le remarque Hacking, c’est déjà voir les choses à la façon de Leibniz, qui a, pour sa part, un point de vue explicitement axiomatique sur la question, et non de Descartes, même si, pour les raisons que je viens d’indiquer, il ne va pas de soi que la connaissance de la vérité des théorèmes puisse, aussi bien que celle de la vérité des axiomes, être une chose qui mérite réellement d’être appelée une perception claire et distincte de la vérité. Ce qui est clair, est que, pour Leibniz, il n’y a qu’une espèce de propositions qui puissent être connues sans démonstration, qui est déterminée objectivement et la même pour tout le monde ; et ce sont les axiomes proprement dits, qui sont toujours des identités explicites. Toutes les autres propositions, y compris les axiomes usuels, qui, la plupart du temps, ne sont pas de cette forme, sont démontrables et doivent en principe être démontrés. Ce n’est évidemment pas du tout le point de vue de Descartes.

12La supériorité de l’arithmétique et de la géométrie ne réside en aucune façon pour lui dans le fait qu’elles ont pris soin de se doter d’un appareil déductif précis et sophistiqué qui les protégerait plus efficacement que les autres sciences contre le risque de l’erreur, mais dans le fait que « seules elles traitent d’un objet assez pur et simple pour n’admettre absolument rien que l’expérience ait rendu incertain, et qu’elles consistent tout entières en une suite de conséquences déduites par raisonnement » [Regulae, II : AT X, 365]. Leur avantage est donc de n’être menacées ni par le risque d’erreur que représentent les expériences mal comprises ni par celui que pourrait représenter le passage de propositions reconnues initialement comme certaines à d’autres qui en dérivent, puisque celui-ci s’effectue entièrement par déduction, c’est-à-dire, pour Descartes, d’une façon qui exclut en principe la possibilité de se tromper. Il dit de l’arithmétique et de la géométrie qu’elles sont les plus faciles et les plus claires de toutes les sciences, « et leur objet est tel que nous le désirons, puisque, sauf par inattention, il semble impossible à l’homme d’y commettre des erreurs » [Regulae, II : AT X, 365]. On peut penser qu’il s’agit là d’une conception extraordinairement optimiste. Le mathématicien chevronné qu’était Descartes ne pouvait certainement pas ignorer la facilité avec laquelle des démonstrations incomplètes ou même illusoires peuvent être acceptées et même acceptées pendant longtemps comme parfaitement probantes dans les mathématiques elles-mêmes. Mais, pour lui, l’erreur ne provient jamais dans ce domaine d’un défaut de connaissance, par exemple de l’ignorance ou d’une maîtrise insuffisante des règles formelles qui gouvernent la pratique du raisonnement déductif, mais toujours uniquement de l’inattention. Si l’arithmétique et la géométrie sont les sciences à la fois les plus faciles et les plus sûres, c’est parce que rien d’autre que le « bon sens » n’a besoin d’y intervenir, c’est-à-dire la capacité de distinguer le vrai et le faux par le seul usage de la lumière naturelle – une aptitude qui, à la différence de la familiarité très inégale que peuvent avoir les hommes avec une discipline technique et même ésotérique comme la logique, est également répartie entre eux. Peirce soutient qu’autant le recours à une théorie du raisonnement élaborée et sophistiquée est inutile et même néfaste dans les questions ordinaires, autant il est indispensable dans la métaphysique. « Une Logica utens, écrit-il, comme la mécanique analytique qui réside dans les nerfs du joueur de billard, est ce qui répond le mieux aux usages familiers. 4 » Descartes pense que c’est à peu près le contraire qui est vrai : la métaphysique comme, du reste, les mathématiques elles-mêmes n’ont pas besoin d’une Logica docens, mais seulement d’une Logica utens, qui est constituée en l’occurrence simplement par le bon sens orienté et discipliné uniquement par les règles de la méthode.

13En ce qui concerne la difficulté que pourrait sembler présenter une comparaison de la position de Descartes avec celle des intuitionnistes, il suffira de remarquer que, lorsque les intuitionnistes soutiennent qu’être, pour un objet mathématique, veut dire être construit, et qu’être vraie, pour une proposition mathématique, veut dire être démontrée, ce qu’ils entendent par « construction » et par « démonstration » n’a rien à voir avec l’exécution d’une procédure formelle ou même d’une procédure qu’il pourrait être intéressant d’essayer de formaliser. Pour Brouwer, il est parfaitement futile et incongru d’essayer de codifier a priori et une fois pour toutes dans des règles formelles l’ensemble des démarches qui sont susceptibles de nous conduire à la reconnaissance d’une vérité mathématique. Brouwer résume à un moment donné l’opposition qui existe entre lui et les formalistes en disant que, pour l’intuitionnisme, l’exactitude réside dans l’esprit, alors que, pour le formalisme, elle se situe sur le papier. C’est une caractérisation qui pourrait être utilisée déjà pour exprimer le désaccord fondamental qui existe entre Descartes et Leibniz sur la question de la démonstration. Brouwer parle du « sentiment de la vérité mathématique », qu’il considère comme le seul critère de la vérité en mathématiques et de la vraie mathématique. Ce que Descartes dit, pour sa part, de façon heureusement beaucoup moins psychologiste, est que le critère ultime de la vérité est la perception claire et distincte, et cela entraîne chez lui une méfiance du même genre que celle que l’on retrouvera plus tard chez Brouwer à l’égard des prétentions de la logique. Brouwer considère que la logique ne constitue en aucune façon l’autorité ultime sur la question de la vérité mathématique. Comme le dit le titre de l’un de ses articles, « les principes logiques ne sont pas sûrs » et, s’ils sont appliqués aux mathématiques considérées sous leur aspect uniquement symbolique et en l’absence de la contrepartie et de la garantie constituées par la présence d’une évidence proprement mathématique qui doit leur correspondre à chaque fois, ils sont parfaitement susceptibles de nous conduire dans certains cas à l’acceptation de propositions mathématiques fausses.

14Descartes ne reconnaît pas davantage à la logique la position d’arbitre suprême en matière de vérité, mathématique ou autre. Comme le dit Belaval, chez lui « les principes de la raison perdent leur valeur formelle, ils n’ont de valeur qu’intuitive 5 ». Cela vient du fait qu’ils ne sont pas perçus eux-mêmes intuitivement, mais seulement en liaison, ou plutôt comme liaisons entre les termes qu’ils conjoignent. Les notions communes ne sont perçues distinctivement que lorsqu’elles lient entre elles des idées distinctes et ne constituent en dehors d’elles que des énonciations purement verbales sans contenu ni vérité. Les principes formels de la logique ne permettent pas à la raison d’instaurer des relations entre les idées ; elle ne fait que constater l’existence de ces relations, lorsqu’elle considère les idées avec une attention suffisante.

2. L’intuition et le formalisme

15Rien n’est donc plus étranger à Descartes que l’idée qu’une formalisation des principes et des règles du raisonnement logique pourrait représenter un progrès essentiel du point de vue de la rigueur dans les mathématiques ou dans la métaphysique. Si le but de la construction d’une langue formelle appropriée à la représentation du mécanisme de l’inférence logique est, comme l’explique Frege, d’isoler et d’éliminer les présupposés inaperçus qui proviennent de l’intervention subreptice de l’intuition, c’est exactement, d’après Descartes, le contraire de l’idéal que nous devons poursuivre. Car, pour lui, la correction du raisonnement ne peut être garantie, justement, que par une attention suffisante et constante au contenu lui-même, et certainement pas par la séparation rigoureuse de la forme d’avec le contenu et le respect de règles formelles de quelque nature que ce soit. Leibniz, qui est considéré souvent à juste titre comme le véritable père de la logique moderne, a une conception bien différente et incomparablement plus proche de celle qui a inspiré les efforts des logiciens contemporains. « La droite raison est un enchaînement de vérités, écrit-il, la raison corrompue est mêlée de préjugés et de passions, et pour discerner l’une de l’autre, on n’a qu’à procéder par ordre, n’admettre aucune thèse sans preuve, et n’admettre aucune preuve qui ne soit en bonne forme selon les règles les plus vulgaires de la Logique. On n’a point besoin d’autre critérion ni d’autre juge des controverses en matière de raison. » [TH, 86]

16Belaval note que, « contre la tradition d’Aristote, maintenue par l’École, Descartes attend de la méthode une conversion de l’esprit, il n’en attend pas des techniques appropriées aux différentes matières 6 ». On pourrait croire qu’en mathématiques découvrir la vérité signifie démontrer et que la méthode qui garantit l’accès à la vérité est celle qui consiste à démontrer rigoureusement tout ce qui peut l’être à partir de principes suffisamment évidents pour n’avoir pas besoin d’être eux-mêmes démontrés. Or c’est justement ce que pense Leibniz, et non Descartes, et ce que Leibniz reproche à Descartes de n’avoir pas fait dans sa philosophie. Pour celui-ci, à partir du moment où nous sommes parvenus à une perception claire et distincte de la vérité d’une proposition, il importe peu que cette perception soit obtenue directement par une intuition, plutôt qu’indirectement par un processus de déduction ; et nous ne pouvons pas compter sur un système de règles formelles pour garantir la transmission non seulement de la vérité, mais également de la perception claire et distincte de la vérité, des prémisses à la conclusion dans un raisonnement. Car ce qui compte est uniquement la perception claire et distincte qui résulte à chaque fois de la présence immédiate et de la transparence du contenu lui-même, et non l’application de techniques de démonstration dans lesquelles le symbolisme lui-même travaille en quelque sorte à notre place. Comme le dit Belaval, « pour Descartes, contre le formalisme, qui laisse la raison oisive, la méthode doit être d’abord un exercice de la volonté qui rende l’attention active 7 ». Elle doit être aussi une façon de mobiliser le plus efficacement possible les ressources de la volonté dans l’exercice du jugement, qui, pour Descartes, est et doit rester une opération du vouloir, et non de l’intellect, alors que la conception formelle du raisonnement tend au contraire à dissocier complètement le processus qui aboutit au jugement de l’intervention de la volonté.

17Leibniz soutient que la démonstration est valide en vertu de sa forme, et non de son contenu. Elle est constituée d’une suite de propositions qui commence par des identités explicites totales ou partielles, c’est-à-dire des propositions de la forme « A est A », « AB est A », etc., et dont chaque proposition est tirée d’une des précédentes par une application du principe de substituabilité des termes identiques salva veritate. La démonstration, au sens strict, ne requiert en tout et pour tout que trois choses : des axiomes identiques, des définitions et le principe qui autorise à remplacer l’un par l’autre dans toute proposition un terme défini et sa définition. Leibniz fait certainement preuve d’une confiance exagérée lorsqu’il affirme qu’il est possible de démontrer avec des moyens aussi limités toutes les propositions qui sont vraies, et en tout cas toutes les vérités mathématiques. C’est presque certainement à lui que Gödel a emprunté le concept de ce qu’il appelle l’« analyticité au sens étroit », c’est-à-dire le sens purement formel auquel les axiomes et les théorèmes d’un système comme celui des Principia Mathematica peuvent être dits analytiques si et seulement si les termes qui y figurent peuvent être définis (explicitement ou par des règles qui permettent de les éliminer des propositions qui les contiennent) d’une manière telle qu’ils deviennent des cas particuliers de la loi d’identité et les propositions réfutables des négations de cette loi 8. Or on sait aujourd’hui qu’il est possible de démontrer que même la théorie des nombres entiers n’est pas analytique en ce sens-là, si l’on exige des règles d’élimination qu’elles permettent d’effectuer dans tous les cas l’élimination en un nombre fini d’étapes.

18Mais il ne peut y avoir, en revanche, aucun doute sur le fait que le concept de démonstration que propose Leibniz est rigoureusement formel et pour l’essentiel identique au nôtre. La démonstration des propositions nécessaires, qui sont les seules que nous puissions effectivement démontrer, se présente chez lui comme une suite finie de transformations purement formelles effectuées sur des signes ; elle peut être assimilée entièrement à un calcul et testée quant à sa correction par le même genre de procédure mécanique qu’un calcul effectué sur des nombres, ou plutôt sur des signes numériques. Leibniz dispose d’une notion de démontrabilité qui est rigoureusement syntaxique en ce sens qu’elle repose sur les deux principes suivants : 1) toutes les propositions qui sont distinguées par une certaine propriété purement structurale (les axiomes explicites) sont vraies, et 2) toutes les propositions qui résultent de l’application de certaines opérations formelles à des propositions déjà reconnues comme vraies sont également vraies. Descartes rêve, comme le dit Belaval, d’une déduction qui ne serait rien d’autre qu’une intuition continuée. Leibniz pense que la seule forme d’intuition dont nous avons besoin ici est l’intuition concrète des signes.

19Comme le remarque Hacking, Leibniz ignore le problème que pose l’équivalence de la notion syntaxique de démontrabilité formelle et de la notion sémantique de vérité nécessaire, comprise, chez lui, comme étant celle de vérité dans tous les mondes possibles, autrement dit le problème de la complétude ; et il fait de cette équivalence une simple définition en postulant que toute proposition vraie doit être également démontrable, les propositions nécessaires par un nombre fini et les propositions contingentes par un nombre infini de substitutions définitionnelles. « De façon générale, écrit-il, toute proposition vraie (qui n’est pas identique ou vraie par soi) peut être démontrée a priori à l’aide d’axiomes ou de propositions qui sont vraies par soi et à l’aide de définitions ou d’idées. » [PS VII, 300] Que toute proposition vraie doive être également démontrable ne constitue pas un problème pour lui, puisque c’est une conséquence immédiate du principe de raison suffisante, ou plutôt une autre façon de formuler le principe lui-même. La raison complète de la vérité d’une proposition ne peut résider, en effet, que dans la démonstration, qui rend manifeste et pour ainsi dire tangible le fait que le prédicat de la proposition est effectivement contenu dans le sujet, ce qui constitue le seul fondement possible de la vérité de celle-ci. Et c’est pourquoi même les propositions les plus contingentes doivent être démontrables, au moins par Dieu, puisque si elles ne l’étaient pas cela signifierait qu’il est impossible de rendre complètement raison du fait que ce sont elles, plutôt que leurs négations, qui sont vraies. Mais cela ne résout pas, bien entendu, la question de savoir si une spécification purement syntaxique de la classe des propositions démontrables, du genre de celle que propose Leibniz, est suffisante pour pouvoir constituer en même temps une spécification de la classe des propositions vraies. Pour ce qui concerne les propositions logiquement valides du calcul des prédicats du premier ordre, le problème de la complétude a été résolu seulement en 1930 par Gödel, et ce qui est remarquable est qu’il ne l’a été que très peu de temps après avoir commencé à être réellement posé.

20Rien n’illustre plus clairement la dépendance fondamentale de la vérité par rapport à la démonstration, chez Leibniz, que le fait que la compréhension complète de la vérité de la proposition ne puisse être constituée que par la démonstration. Nous ne comprenons donc pas complètement les vérités contingentes, puisque nous avons besoin de recourir à d’autres sources que l’analyse des concepts pour reconnaître leur vérité. Nous n’avons la plupart du temps de la vérité des propositions de cette sorte qu’une connaissance que l’on peut appeler factuelle ou historique et qui n’est pas, comme celle des vérités nécessaires, purement conceptuelle, en dépit du fait que le fondement ultime de leur vérité ne dépend, lui aussi, que du contenu des concepts qui y figurent. Il va sans dire que Leibniz est, sur ce point, le contraire d’un sceptique, et il ne conteste aucunement qu’une multitude de propositions empiriques puissent être connues avec une certitude qui est tout à fait suffisante. Mais il y a pour lui une différence essentielle entre connaître le simple fait de la vérité et connaître la raison de la vérité. On retrouve donc chez lui une distinction analogue à celle que fait Descartes entre le fait de savoir qu’une proposition est vraie ou, comme il le dit, de « toucher sa vérité », et le fait de réussir à la comprendre ou à l’embrasser réellement dans son esprit : « Comprendre, c’est embrasser de la pensée, mais pour savoir une chose il suffit de la toucher de la pensée. » [À Mersenne, 27 mai 1630 : AT I, 152] Il y a, pour Descartes, une multitude de propositions très importantes qui sont telles que nous avons une perception claire et distincte de leur vérité, sans être pour autant en mesure de les comprendre. La distinction entre savoir et comprendre est, chez Leibniz comme chez lui, liée à l’intervention de l’infini. Mais, pour Descartes, il s’agit de l’infini de la toute-puissance divine et, pour Leibniz, de ce qu’il appelle l’« infini dans les raisons », qui est la caractéristique de toutes les propositions que nous ne sommes pas en mesure de démontrer, et donc de comprendre complètement. La différence entre connaître la vérité et la comprendre ne signifie évidemment pas du tout la même chose dans les deux cas : l’infini dans les raisons n’a rien à voir, chez Leibniz, avec l’impossibilité de se faire une idée de la raison. Pour lui, nous savons a priori que ce que nous ne comprenons pas est en principe compréhensible par un processus qui n’est pas fondamentalement différent de celui que nous utilisons dans la démonstration des propositions nécessaires, et que nous sommes simplement incapables, en l’occurrence, de mener à son terme. Ce qui nous empêche de comprendre réellement les desseins et l’œuvre du créateur est simplement le fait que notre entendement limité ne dispose pas des moyens de calcul qu’il a utilisés pour déterminer ce qui était le meilleur et le choisir. Pour Descartes, sur ce qui dépasse la raison humaine, on ne peut rien affirmer ou nier. Pour Leibniz, nous pouvons avoir, au contraire, une idée précise des contraintes auxquelles ont été soumises, dans la création, l’entendement et la volonté de Dieu : les règles de la logique pour ce qui est de l’entendement, et la nécessité, qui n’est assurément pas logique mais seulement morale, de choisir le meilleur pour ce qui est de la volonté – la nécessité de le choisir après l’avoir reconnu, et non pas, comme chez Descartes, la liberté de le décréter souverainement. En subordonnant comme il le fait non seulement la nécessité morale mais également la nécessité logique aux décrets de la toute-puissance divine, Descartes introduit précisément une distance que Leibniz considère comme tout à fait excessive et inacceptable entre ce que nous pouvons savoir, et même savoir avec certitude, et ce que nous pouvons, en outre, comprendre.

21Comme le dit Marion à propos de Suarez, « l’indépendance des vérités éternelles ne s’impose […] à Dieu qu’en vertu de l’univocité de la vérité : la même identité logique (donc les mêmes contradictoires) s’impose à Dieu comme aux esprits créés. L’univocité du savoir constitue la condition épistémologique radicale de l’indépendance des vérités éternelles 9 ». Leibniz est, sur ce point, du côté de Suarez et de tous ceux qui pensent que la connaissance que nous avons des vérités de raison n’est pas obtenue d’une autre manière que celle que Dieu en a et pas différente d’elle dans son principe, et que nous savons très bien, en outre, en quoi consiste la connaissance complète que Dieu a des vérités de fait elles-mêmes et pourquoi elle nous est interdite. Il n’y a pas pour Leibniz deux façons complètement différentes de savoir : savoir en connaissant complètement ou partiellement les raisons, c’est-à-dire en comprenant, et savoir d’une façon qui reste constitutivement et définitivement en deçà de la connaissance des raisons et interdit même de s’interroger sur ce qu’elles peuvent être, autrement dit qui est sans rapport avec le savoir que Dieu possède des mêmes choses.

3. Tradition et innovation : Leibniz et ses prédécesseurs

22Hacking dit que la compréhension leibnizienne de la nature de la démonstration n’a pas vraiment existé avant Leibniz. Mais la première chose à remarquer sur ce point est certainement que Leibniz n’a aucunement, pour sa part, l’impression de proposer une innovation radicale. Il est persuadé de revenir simplement à une conception qui était déjà celle d’Aristote et des scolastiques, c’est-à-dire la conception selon laquelle un raisonnement logique ne peut être contraignant que vi formae, en vertu de sa forme et indépendamment de son contenu, ce qui implique précisément que sa validité doit pouvoir être testée par des procédures purement formelles et sans recours à l’intuition. « Raisonner machinalement, écrit Jean Laporte, c’est bien l’idéal de la logique scolastique comme de toute logique formelle. 10 » C’est aussi l’idéal de Leibniz, qui ne voit rien de dégradant pour l’esprit dans cette façon de se prémunir contre l’erreur. De son point de vue, ce n’est pas lui qui introduit une idée révolutionnaire de ce qu’est la démonstration, mais Descartes qui se singularise en adoptant une conception qui se distingue radicalement de celle de tous ses grands prédécesseurs. « On me demandera, écrit Leibniz, où est donc ce beau moyen qui nous peut garantir des chutes ? J’ai quasi peur de le dire : cela paraîtrait trop bas, mais enfin je parle à V[otre] A[ltesse]I, qui ne juge pas des choses par l’apparence. C’est, en un mot, de ne faire des arguments qu’in forma. Il me semble que je ne vois [que] des gens qui s’écrient contre moi et qui me renvoient à l’école. Mais je les prie de se donner un peu de patience, car peut-être ne m’entendent-ils pas ; les arguments in forma ne sont pas toujours marqués au coin de Barbara Celarent. Toute démonstration rigoureuse qui n’omet rien qui soit nécessaire à la force du raisonnement est de ce nombre, et j’ose bien dire qu’un compte de receveur et un calcul d’analyse est un argument in forma, puisqu’il n’y a rien qui y manque, et puisque la forme ou la disposition de tout ce raisonnement est cause de l’évidence. Ce n’est que la forme qui distingue un livre de comptes fait selon la pratique qu’on appelle communément italienne (dont Stevin a fait un traité tout entier) d’un journal confus de quelque ignorant en matière de négoce. C’est pourquoi je soutiens qu’afin de raisonner avec évidence partout il faut garder quelque formalité constante. Il y aura moins d’éloquence et plus de certitude. » [PS IV, 295]

  • I Probablement la duchesse Sophie de Hanovre.

23Comme l’a fait remarquer Scholz, Leibniz est un des premiers et peut-être le premier à avoir reconnu clairement l’essence de ce qu’on appelle un calcul : « Un calcul au sens mathématique est un dispositif de règles de transformation qui permettent de remplacer des opérations de pensée effectuées sur des objets mathématiques quelconques par des transformations mécaniques de certaines suites de signes préparées pour cette fin. 11 » Leibniz a, du même coup, reconnu clairement qu’il était possible, moyennant une notation appropriée, de calculer sur bien autre chose que des nombres ou des grandeurs (ou des objets mathématiques en général), par exemple sur des concepts ou des propositions. Comme en témoigne la comparaison qu’il fait de la démonstration avec un calcul de comptable, il est sans doute le premier à affirmer aussi clairement que l’essence de la démonstration réside entièrement dans ce que l’on peut appeler son caractère formel-computationnel, et il considère qu’il doit être possible de donner dans tous les cas à la procédure démonstrative, y compris lorsqu’elle opère dans le domaine de la métaphysique, la forme d’un calcul, au sens indiqué.

24Il est donc difficile de trouver deux positions qui soient plus opposées que la sienne et celle de Descartes sur la question de savoir ce qui confère aux mathématiques la sûreté et la facilité particulières qu’elles semblent posséder, et sur ce que signifie le fait de chercher à imiter le modèle des mathématiques dans les autres sciences et en particulier, puisque c’est bien le but qu’ils poursuivent l’un et l’autre, dans la philosophie elle-même. J’ai rappelé il y a un instant ce qu’était sur ce point la position de Descartes. Pour lui, les mathématiques s’occupent d’objets à propos desquels – à condition de prêter suffisamment d’attention aux choses qui peuvent être tenues à chaque fois entièrement sous le regard de l’esprit, et de procéder avec méthode en allant toujours du plus simple au plus complexe – nous sommes pratiquement dans l’impossibilité de nous tromper. Leibniz pense que c’est, au contraire, parce qu’elles ont réussi beaucoup plus tôt que les autres sciences à rendre sensibles et, du même coup, mécaniques les raisonnements abstraits qu’elles utilisent – autrement dit à se dispenser de l’attention portée aux choses elles-mêmes pour la remplacer par des manipulations effectuées sur les signes – que les mathématiques ont pris une avance si considérable.

25Selon lui, comme le dit Hacking, la véritable nature de la démonstration ne pouvait pas être comprise tant que la géométrie était restée le paradigme de la rigueur mathématique. Car les démonstrations géométriques, qui impliquent le recours à des figures, ont une validité qui donne l’impression de dépendre de façon essentielle de leur contenu. Or Descartes a réussi à algébriser la géométrie, et l’algébrisation implique la possibilité d’éliminer un certain contenu qui semblait essentiel. Grâce à la découverte de Descartes, la démonstration géométrique pouvait être traitée dorénavant, elle aussi, comme purement formelle. Mais Descartes s’est arrêté en chemin et n’est pas allé jusqu’à l’idée d’une Caractéristique universelle abstraite qui servirait de mode d’expression aux démonstrations dans tous les domaines et permettrait de les tester commodément et infailliblement. On pourrait évidemment être tenté de considérer l’idée de la Méthode elle-même comme un premier pas qui a été effectué dans ce sens. Et c’est plus ou moins de cette façon que l’interprète Valéry. « Une méthode, écrit-il, n’est pas une doctrine : elle est un système d’opérations qui fasse mieux que l’esprit lui-même le travail de l’esprit. Ce sont donc nécessairement des opérations quasi matérielles, c’est-à-dire que l’on peut concevoir, sinon réaliser, au moyen d’un mécanisme. Une doctrine peut prétendre nous enseigner des choses dont nous ne savions absolument rien ; cependant qu’une méthode ne se flatte que d’opérer des transformations sur ce dont nous savons déjà quelque partie pour en extraire ou en composer tout ce que nous pouvons en savoir. 12 » Mais, pour Descartes, si la recherche de la vérité devient à la fois plus facile et plus sûre en devenant plus méthodique, ce n’est pas parce que la méthode remplace d’une façon quelconque le travail de l’esprit, mais, au contraire, parce qu’elle lui permet d’être totalement présent à ce qu’il fait et de rester entièrement maître de ce qui se fait.

26Leibniz a une tout autre idée de ce que nous pouvons attendre de la vraie méthode. Dans la lettre à Oldenburg du 28 décembre 1675, après avoir rappelé la méfiance dont nous devons faire preuve à l’égard de notions comme celles de l’« infini », du « plus petit », du « plus grand », du « plus parfait », etc., que nous avons l’impression de réussir à penser sans difficulté et qui pourtant pourraient très bien, comme le concept de « nombre de tous les nombres », recéler une contradiction cachée et être par conséquent aussi impensables que lui, Leibniz écrit : « Il ne faut pas se fier à ces notions avant qu’elles ne soient soumises à ce critère que je crois reconnaître et qui, comme par un procédé mécanique, rend la vérité fixe et visible (et pour ainsi dire irrésistible), lequel par un bienfait inexplicable nous a été octroyé par la nature. Cette algèbre, dont nous faisons à bon droit un si grand cas, n’est qu’une partie de cet art général. Elle nous fournit néanmoins ceci que nous ne pouvons même pas nous tromper si nous le voulons. Et que la vérité est attrapée comme quasiment peinte, exprimée comme à l’aide d’une machine sur le papier. Mais je reconnais, quant à moi, que tout ce que l’algèbre démontre dans son genre n’est que le bénéfice dû à une science supérieure ; une science que j’ai maintenant l’habitude d’appeler Caractéristique Combinatoire. » [MS I, 85-86]

27On a l’habitude de considérer que l’innovation principale qu’apporte la révolution cartésienne par rapport à la tradition scolastique consiste dans la décision de faire de la certitude mathématique le modèle de toute certitude, et de la méthode que les mathématiciens utilisent pour y parvenir la méthode qui doit être suivie dans tous les cas. Marion écrit à ce sujet : « Au lieu de la dialectique, que disqualifient ses conclusions seulement probables, il faut acquérir “une connaissance et une certitude égales à celles que peuvent produire les règles de l’Arithmétique”, c’est-à-dire “introduire la certitude et l’évidence des démonstrations mathématiques dans les matières de Philosophie” : l’universalisation du type d’évidence et de certitude que montrent les mathématiques – universalisation qui relève, pour cela même, d’une instance méta-mathématique – constitue le seul véritable dépassement de l’École (puisqu’il en récuse le mode de raisonnement, et non plus seulement telle ou telle conclusion), voilà l’apport proprement novateur de Descartes. 13 »

28Or Leibniz a une vision de la situation et du rôle historique de Descartes qui est sensiblement différente de celle-là. Il pense que, si Descartes avait réellement pour ambition de généraliser à toutes les autres sciences et à la philosophie elle-même les avantages de la méthode mathématique, il a commis l’erreur majeure d’ignorer ce que ses prédécesseurs aristotéliciens et scolastiques avaient déjà réalisé dans ce sens-là, et a été victime sur ce point du préjugé qui consiste à opposer le verbalisme et la stérilité de la logique formelle à la fécondité des mathématiques. Dans la lettre autobiographique à Gabriel Wagner (qui date de la fin de l’année 1696), après avoir constaté que les présentations usuelles de la logique traitent successivement du concept, du jugement et du raisonnement, il observe que cette dernière partie, la théorie de l’inférence, n’a généralement pas bonne presse. On la considère habituellement comme triviale, ennuyeuse et stérile parce qu’on continue à se la représenter essentiellement sur le modèle de la théorie syllogistique. C’est une erreur regrettable parce que, si les méthodes de logique perfectionnées qui sont déjà à l’œuvre dans les sciences réellement démonstratives étaient complètement expliquées, elles feraient apparaître la technique de l’inférence syllogistique comme étant à peu près du même niveau que le calcul de très petits nombres, que l’on fait sur ses doigts ou avec des bâtons. « Dans toutes les sciences infaillibles, écrit Leibniz, lorsqu’elles sont démontrées exactement, sont pour ainsi dire incorporées des formes logiques supérieures qui, pour une part, découlent des formes aristotéliciennes, pour une autre, recourent en plus à autre chose. » [PS VII, 519] Il n’en est pas moins vrai que les règles du syllogisme sont les règles élémentaires que l’on doit impérativement connaître avant de passer à des règles d’inférence plus compliquées. D’Aristote, qui a eu le mérite éminent de soumettre les formes syllogistiques à un petit nombre de lois infaillibles, Leibniz dit qu’il a été, de ce fait (n’en déplaise, pourrait-on ajouter, à Descartes), « le premier qui ait écrit mathématiquement en dehors des mathématiques » [ibid.]. Écrire (et non pas seulement penser, la précision est importante) mathématiquement en dehors des mathématiques voulait dire justement écrire, sur des sujets qui ne sont pas mathématiques et peuvent même être quelconques, sous forme d’argumenta in forma. Ce qu’a fait Aristote avec la théorie du syllogisme n’était évidemment qu’un début. Mais il avait bien commencé et Descartes a eu tort de croire – et de croire précisément au nom de l’idéal mathématique dont il se réclamait et qu’il cherchait à imposer à toutes les autres sciences – que ce début devait être considéré en même temps comme une fin et que le chemin qu’il convenait de suivre désormais était à peu près le contraire de celui-là.

4. Descartes, Leibniz et le problème de la création des vérités éternelles

29Si l’on en croit Hacking, la conception cartésienne de l’indépendance de la vérité par rapport à la démonstration se manifeste de façon particulièrement nette dans la conception hétérodoxe que Descartes défend à propos du statut des vérités éternelles. Assurément, nous reconnaissons la vérité d’une proposition comme « 2 + 2 = 4 » par la démonstration. C’est en tout cas ce que pense Leibniz, qui prend la peine de donner de cette proposition une démonstration in forma. Et Descartes ne conteste, bien entendu, aucunement que cette proposition soit vraie, et même nécessairement vraie. Mais, pour lui, elle ne dépend pas seulement de l’entendement de Dieu, mais également de sa volonté ; et Dieu aurait pu vouloir et faire que 2 + 2 ne fassent pas 4. Il ne suffisait donc pas que la proposition soit démontrable pour qu’elle soit vraie. Il a fallu d’abord que Dieu veuille qu’elle le soit, et il aurait pu vouloir autre chose. Il se peut, bien entendu, qu’une proposition mathématique vraie soit toujours une proposition dont il existe une démonstration correcte, tout comme il est vrai qu’une proposition mathématique que nous réussissons à démontrer est (si la démonstration est correcte) vraie et même nécessairement vraie. Mais Dieu aurait pu faire que d’autres propositions mathématiques soient vraies, et donc – c’est du moins ce qu’on est enclin à supposer – démontrables. Il y a par conséquent un sens auquel la vérité est indépendante de la démonstration et un sens auquel elle ne l’est pas. Elle est indépendante de la démonstration puisque sa raison ultime n’est pas constituée par la démonstration elle-même, qui constitue simplement l’instrument que nous avons à notre disposition pour la reconnaître, mais par la volonté incompréhensible de Dieu. Mais, en même temps, si la démonstration est le moyen que nous utilisons normalement pour reconnaître la vérité des propositions mathématiques et si Dieu n’a pas pu nous tromper en nous donnant une propension irrésistible à reconnaître comme vraie une proposition que nous avons démontrée, il faut supposer que, s’il avait jugé bon de créer d’autres propositions nécessaires, il aurait créé également et implanté dans notre esprit une autre notion de la démontrabilité.

30D’après Descartes, Dieu a donné à notre esprit une constitution telle que nous ne pouvons pas ne pas donner notre adhésion à une proposition que nous percevons clairement et distinctement être vraie ; et nous pouvons le faire en toute quiétude à partir du moment où nous savons qu’il n’a pas pu nous tromper sur ce point. Il doit donc y avoir une correspondance entre les vérités nécessaires que Dieu a créées et les moyens dont il nous a dotés pour les reconnaître, lorsqu’elles nous sont présentées. Nous savons que les vérités auxquelles nous sommes conduits par la démonstration sont bien celles que Dieu a décidé de créer. Mais il aurait pu en créer d’autres, et s’il avait décidé, par exemple, de créer un monde dans lequel il n’est pas vrai que 2 et 2 fassent 4, ce devrait être aussi un monde dans lequel nous ne pouvons pas démontrer que 2 + 2 = 4. Il est évident que, tout comme Dieu aurait pu créer d’autres vérités éternelles, il aurait pu créer aussi une autre relation de conséquence logique et aurait même nécessairement dû le faire dans ce cas-là. Si on accepte la doctrine de la création des vérités éternelles, on doit admettre qu’il aurait pu faire, par exemple, que de « A » et « Si A, alors B », on ne puisse pas déduire « B », mais plutôt, par exemple, « non-B ». Ce qui est vrai est donc simplement que les vérités éternelles sont une chose, et le critère dont nous disposons pour les reconnaître en est une autre. La relation qui existe entre les deux est une relation externe et qui dépend, elle aussi, de la manière dont Dieu a procédé lors de la création, en l’occurrence de la constitution qu’il a choisi de donner à notre esprit. Bien entendu, il n’est pas tout à fait exact de dire, comme le fait Hacking, que, chez Leibniz, la vérité est constituée par la démonstration. Ce qu’il faut dire est plutôt que la vérité de la proposition est constituée par le fait que les constituants du prédicat sont contenus également comme constituants dans le sujet et que la démonstration constitue simplement le moyen infaillible qui permet de reconnaître, si la proposition est vraie, qu’ils le sont effectivement. Mais il est clair, en tout cas, qu’il y a une relation interne et essentielle entre le fait, pour une proposition, d’être vraie et le fait d’être démontrable. Pour Leibniz, une proposition vraie n’est jamais vraie sans raison et affirmer cela revient précisément à affirmer que toute proposition vraie est susceptible de recevoir une démonstration a priori.

31Je n’ai pas l’intention d’essayer d’ajouter ici une contribution supplémentaire à la littérature déjà considérable qui a été consacrée à la doctrine de la création des vérités éternelles, d’autant plus que je n’ai pas l’impression qu’elle ait réussi à rendre beaucoup plus intelligible et acceptable la doctrine concernée. À certains moments, Descartes semble dire simplement que les limites de notre entendement et le respect que nous devons éprouver pour la toute-puissance de Dieu nous obligent à nous abstenir d’affirmer qu’il ne pouvait pas faire ce que nous percevons clairement et distinctement comme impossible : « J’ose affirmer que Dieu peut tout ce que je perçois comme possible ; je n’ose cependant pas nier qu’il puisse ce qui répugne à ma conception ; mais je dis que cela implique contradiction. » [À Morus, 5 février 1649 : AT V, 272] Et ce n’est certainement pas la même chose de dire que l’on doit s’interdire de nier que Dieu puisse faire que p et de dire que l’on est en droit d’affirmer positivement qu’il pouvait faire que p. Il se pourrait qu’après tout nous ne comprenions même pas suffisamment la toute-puissance de la volonté divine pour pouvoir nous risquer à affirmer ce qu’il nous est interdit de nier ; en d’autres termes, qu’il s’agisse d’une question sur laquelle nous ne pouvons tout simplement rien affirmer ou nier.

32Mais Descartes dit aussi, à d’autres moments, que nous sommes parfaitement en mesure de savoir, même si nous ne le comprenons en aucune façon, que Dieu aurait pu faire que des choses que nous concevons comme impossibles logiquement soient bel et bien possibles : « Vous demandez […] qui a nécessité Dieu à créer ces vérités ; et je dis qu’il a été aussi libre de faire qu’il ne fût pas vrai que toutes les lignes tirées du centre à la circonférence fussent égales, comme de ne pas créer le monde. » [À Mersenne, 27 mai 1630 : AT I, 152]

33Le problème qui se pose, lorsque Descartes affirme, de façon si possible encore plus directe et plus choquante, que Dieu aurait pu rendre vraies simultanément les contradictoires elles-mêmes, est réellement un problème d’intelligibilité immédiate. Lorsque nous disons d’une chose impossible que Dieu aurait pu, s’il avait voulu, la faire exister, il faut au moins que nous sachions de quoi exactement nous sommes en train de dire que Dieu aurait pu le faire. Mais même Descartes n’a pas pu, semble-t-il, ne pas se rendre compte que nous ne nous référons à rien et ne décrivons rien lorsque nous disons que Dieu aurait pu rendre possible un cercle dont tous les rayons ne soient pas égaux ou une vérité constituée de la combinaison de deux propositions contradictoires. Le problème n’est même pas que l’on peut trouver absurde de suggérer qu’une chose qui est perçue clairement et distinctement comme impossible aurait pu, si Dieu en avait décidé autrement, être possible et sans doute également perçue clairement et distinctement comme telle. Il est que, si une chose, comme par exemple un cercle carré, est impossible, l’expression qui la décrit n’a pas de sens et que, par conséquent, nous ne savons pas de quoi nous parlons et nous ne disons rien en disant de Dieu qu’il pouvait la faire. Comme dit Wittgenstein, si une chose est impossible, sa description l’est également. Il est possible, bien entendu, de dire que c’est simplement parce que, tout comme nous sommes limités dans nos moyens de conception, nous le sommes aussi dans nos moyens d’expression. Mais il s’agit, en l’occurrence, simplement d’essayer de donner un sens à ce que nous disons, et non d’essayer de comprendre une chose qui, si l’on en croit Descartes, nous dépasse entièrement. Si un concept contradictoire ne spécifie aucune entité dont on pourrait dire que Dieu pouvait ou ne pouvait pas la réaliser, il semble difficile de faire la différence à laquelle Descartes semble tenir particulièrement entre ce qui implique simplement contradiction dans ma conception et ce qui est impossible absolument parlant.

34Hidé Ishiguro a proposé d’interpréter la position de Descartes comme signifiant que, si une proposition p est telle qu’elle ne spécifie aucun état de choses possible, alors l’impossibilité que p soit le cas est effectivement absolue 14. La nécessité d’une proposition qui correspond à la négation d’une impossibilité conceptuelle est absolue. Il y a donc des propositions p qui sont de la forme non-q, par exemple « non (2 + 3 = 4) », qui sont absolument nécessaires. Mais le caractère absolu de l’impossibilité qui est exprimée, par exemple, dans une contradiction explicite ne contredit pas nécessairement le caractère simplement hypothétique de la nécessité qui est affirmé par la doctrine de la création des vérités éternelles. Une vérité nécessaire peut n’être nécessaire qu’hypothétiquement, s’il s’agit d’une vérité dans l’expression de laquelle ne figure aucune négation. D’un côté, il était impossible, absolument parlant, pour Dieu de rendre « 2 + 2 = 5 » vrai ou de rendre vraie une contradiction. La raison de cela est qu’une pensée qui combine des idées contradictoires n’est pas la pensée de quoi que ce soit. Mais, d’un autre côté, la vérité nécessaire que représente la proposition « 2 + 2 = 4 » peut très bien n’être nécessaire que de façon contingente, si elle signifie uniquement que Dieu nous a donné un esprit constitué d’une manière telle que nous ne pouvons pas concevoir que 2 + 2 ne fassent pas 4. Dans la lettre à Arnauld du 29 juillet 1648, Descartes dit : « Je n’oserais même pas dire que Dieu ne peut pas faire qu’une montagne soit sans vallée, ou qu’un et deux ne fassent pas trois ; mais je dis seulement qu’il m’a donné un esprit de telle nature que je ne saurais concevoir une montagne sans vallée ou une somme d’un et de deux qui ne soit pas trois, etc., et que de telles choses impliquent contradiction dans ma conception. » [AT V, 224] Nous ne pouvons pas donner de sens à une contradiction positive ; mais nous pouvons parfaitement en donner un à l’idée que Dieu aurait pu donner à notre esprit une constitution différente, et que, par conséquent, nous pourrions avoir un système de pensées différent de celui qui est le nôtre et dans lequel la proposition « 1 + 2 = 3 » est le genre de vérité qu’elle est, à savoir une vérité éternelle.

35En d’autres termes, il faut distinguer deux choses. Dire que Dieu aurait pu faire que 1 + 2 ne fassent pas 3 a un sens et est, en outre, vrai. Mais cela ne signifie pas que « 1 + 2 = 4 », par exemple, qui, dans notre système de pensées, tel qu’il est, est une contradiction, a un sens et que nous pouvons dire de façon douée de sens que Dieu aurait pu faire que cela soit vrai. Dire que Dieu aurait pu faire que 2 + 2 ne fassent pas 4 n’est pas du tout la même chose que dire qu’il aurait pu faire que 2 + 2 fassent, par exemple, 5. C’est probablement, d’après Hidé Ishiguro, la raison pour laquelle Descartes s’abstient soigneusement, de façon générale, de mentionner des contradictions positives (par opposition à des négations de vérités nécessaires) comme exemples de propositions que Dieu aurait pu choisir de rendre vraies.

5. Descartes, Kant et le statut des vérités a priori

36Je n’entends pas discuter ici avec l’attention que cela mériterait et la précision que cela exigerait la pertinence d’une interprétation de ce genre. Je conclurai plutôt par quelques remarques sur une autre idée défendue par Hidé Ishiguro en liaison avec cette interprétation, à savoir l’idée que la validité universelle des vérités éternelles repose, chez Descartes, sur la constitution de notre esprit et que ces vérités, dont Descartes dit qu’elles ont leur siège dans notre esprit, ont un statut qui peut être comparé jusqu’à un certain point à celui de l’a priori chez Kant. Descartes dit, du reste : « Toute impossibilité ou, s’il m’est permis de me servir ici du mot de l’École, toute implicance consiste seulement en notre concept ou pensée, qui ne peut conjoindre les idées qui se contrarient les unes les autres ; et elle ne peut consister en aucune chose qui soit en dehors de l’entendement, parce que, de cela même qu’une chose est hors de l’entendement, il est manifeste qu’elle n’implique point, mais qu’elle est possible. » [Secondes réponses : AT VII, 152] Il y a donc des concepts ou des pensées impossibles, mais pas de choses ou de faits impossibles. Et il faut sans doute dire la même chose des nécessités, puisque la nécessité d’une proposition est l’impossibilité de sa négation. Tout comme l’impossibilité est l’impossibilité de joindre l’une à l’autre deux idées, la nécessité doit être l’impossibilité de les disjoindre. Cela ne confère, bien entendu, aucun caractère psychologique et subjectif aux propositions qui ont trait à des possibilités et à des nécessités puisque, pour Descartes, elles reposent sur l’appréhension de natures, de formes ou d’essences immuables et éternelles que nous n’inventons pas et qui ne dépendent en aucune façon de notre esprit. Nous commettrions cependant une erreur si nous essayions de lier la capacité que nous avons de percevoir des objets de cette sorte à celle que nous avons de percevoir des choses qui, comme les objets physiques, existent en dehors de notre esprit, puisque Descartes souligne expressément que l’essence ou la nature du triangle ne manquerait pas d’exister et de pouvoir être perçue même si aucune figure triangulaire et même aucune figure en général n’avait une existence réelle en dehors de l’esprit. En fait, pour lui, même si les natures ou les essences mathématiques ne sont assurément pas des créations ou des fictions de l’esprit, elles n’appartiennent cependant tout simplement pas, comme c’est le cas pour les réalistes mathématiques authentiques, à la catégorie générale des réalités qui sont extérieures à l’esprit.

37Il est vrai que, comme l’explique Descartes à Burman, les objets mathématiques ne sont dans un certain sens pas moins réels que ceux de la physique ; mais « réel » ne veut pas dire ici « existant », puisque les êtres mathématiques ne représentent pas des existences, mais seulement des possibilités d’exister : « Toutes les démonstrations des mathématiciens portent sur des êtres et sur des objets vrais, et […] l’objet tout entier des mathématiques, avec tout ce qu’elles y considèrent, est un être vrai et réel et a une vraie et réelle nature, non moins que l’objet de la physique elle-même. La différence est seulement en ceci que la physique considère son objet non seulement comme un être vrai et réel, mais comme un être en acte et, en tant que tel, existant ; les mathématiques au contraire, seulement en tant que possible, n’existant point en acte dans l’espace, pouvant toutefois exister. » [AT V, 160]

38Quant aux vérités elles-mêmes, Descartes ne leur reconnaît pas d’existence en dehors de notre pensée. Il faut, dit-il, distinguer « tout ce qui tombe sous notre connaissance en deux genres : le premier contient toutes les choses qui ont quelque existence, et l’autre toutes les vérités qui ne sont rien hors de notre pensée » [Principes, I : AT IX, 45]. Que les vérités éternelles soient des êtres créés ne signifie donc pas qu’elles sont des existants particuliers, de quelque nature que ce soit. Elles sont indiscutablement quelque chose et, comme de toute chose, Dieu en est l’auteur en tant que cause efficiente. Mais si, comme le dit Descartes, elles ne sont rien en dehors de notre pensée, on pourrait être tenté de se demander si, pour les créer, Dieu a eu besoin de créer autre chose que les êtres pensants que nous sommes, à l’essence desquels elles sont nécessairement conjointes, même si elles ne le sont pas plus que les autres créatures à l’essence de Dieu. Autrement dit, Dieu a-t-il créé réellement (de préférence à d’autres, qu’il aurait pu également choisir) des impossibilités déterminées, qu’il nous a donné les moyens de reconnaître par l’impossibilité dans laquelle nous nous trouvons de combiner l’une à l’autre dans notre esprit deux idées qui se contrarient, ou bien a-t-il créé en fait simplement la deuxième impossibilité en donnant à notre esprit une constitution qui fait que ces deux idées s’excluent l’une l’autre pour lui ?

39Or, comme je l’ai déjà remarqué, il faut dire que les vérités nécessaires sont nécessaires parce que Dieu a voulu qu’elles le soient et décrété qu’elles le seraient. Il ne serait donc pas exact de dire qu’elles sont vraies uniquement en ceci que nous ne pouvons pas ne pas les reconnaître comme telles, aussi longtemps que nous en avons une perception claire et distincte. C’est parce qu’elles ont été créées comme telles que nous pouvons les reconnaître comme vraies, et non parce que notre esprit est ainsi fait que nous les reconnaissons et ne pouvons pas ne pas les reconnaître comme vraies qu’elles sont vraies, même s’il est entendu que ce que nous percevons clairement et distinctement comme vrai ne peut pas ne pas être vrai. Et, en ce sens-là, il semble difficile d’admettre qu’elles ne sont véritablement rien en dehors de notre pensée et avant d’être, sinon pensées effectivement, du moins pensables. Puisque les vérités éternelles dépendent directement de l’action créatrice de Dieu, il y a un sens auquel on ne peut certainement pas dire qu’elles dépendent pour leur existence uniquement de notre pensée, même si l’on est prêt à considérer qu’elles ne sont rien en dehors de notre pensée.

40Hacking s’exprime à certains moments comme si la démonstration n’avait, pour Descartes, aucune relation essentielle avec la vérité : « Une démonstration peut aider une personne à voir une certaine vérité, mais seulement parce que les gens ont une vision intellectuelle indigente. On avait l’habitude de considérer que les anges n’ont pas besoin de raisonner. Bien qu’il soit, de façon louable, réticent à propos des anges, Descartes a exactement cette attitude à propos du raisonnement. 15 » Hacking n’hésite pas à rapprocher son attitude sur ce point de celle du mathématicien Hardy, qui a écrit : « Les démonstrations sont ce que Littlewood et moi appelons du vent, des fleurs de rhétorique conçues pour affecter la psychologie, des images tracées au tableau pendant le cours, des dispositifs faits pour stimuler l’imagination des élèves. 16 » C’est, du moins, ce que l’on peut être amené à conclure si on considère le mathématicien « comme étant en premier lieu un observateur, un homme qui fixe son regard sur une chaîne de montagnes lointaine et note ses observations 17 ». Hardy s’exprime ici comme un mathématicien platonicien qui estime que la démonstration n’est rien de plus qu’un instrument ou un expédient (comparable en quelque sorte au télescope) destiné à nous faire percevoir quelque chose qui existe indépendamment de la démonstration. La démonstration ne fait que suppléer aux insuffisances de notre faculté d’observation directe et, dans bien des cas, elle ne sert qu’à confirmer une chose que le mathématicien doué d’une faculté de vision suffisante avait déjà été capable de reconnaître comme vraie indépendamment de la démonstration.

41Descartes a certainement la même tendance que Hardy à considérer que l’appareil logique de la démonstration fait plutôt partie de la rhétorique qui accompagne et facilite le processus de la reconnaissance de la vérité et n’est pas lié directement à la vérité elle-même. Mais sa position n’est pas du tout celle d’un réaliste mathématique, qui pense que les propositions mathématiques décrivent des états de choses qui existent en dehors de notre pensée dans un monde mathématique et avec lesquels nous entrons en contact par une forme de perception et, seulement faute de mieux et de façon accessoire, par la démonstration. Pour lui, « le nombre que nous considérons en général, sans faire réflexion sur aucune chose créée, n’est point en dehors de notre pensée, non plus que toutes ces autres idées générales que dans l’École on comprend sous le nom d’universaux » [Principes, I : AT IX, 50]. Comme il le dit, « l’ordre et le nombre ne diffèrent pas […] des choses ordonnées et nombrées, mais […] sont seulement des façons sous lesquelles nous considérons diversement ces choses » [ibid., 49].

42De plus, Descartes écrit, dans la Cinquième méditation : « Par exemple, lorsque je considère la nature du triangle, je connais évidemment, moi qui suis un peu versé dans la géométrie, que ses trois angles sont égaux à deux droits, et il ne m’est pas possible de ne le point croire, pendant que j’applique ma pensée à la démonstration ; mais aussitôt que je l’en détourne, encore que je me ressouvienne de l’avoir clairement comprise, toutefois il se peut faire aisément que je doute de sa vérité, si j’ignore qu’il y ait un Dieu. » [AT IX, 55] Il y a donc une différence essentielle entre le géomètre qui a une perception claire et distincte de la vérité de la proposition, parce qu’il a fait et peut refaire la démonstration, et le profane qui est certain que la proposition est vraie uniquement parce qu’il sait que les mathématiciens l’ont démontré. Descartes dit, en tout cas, très clairement que la perception claire et distincte de la vérité du théorème dépend directement de celle de sa démonstration, et que le doute peut se manifester à nouveau dès que la pensée cesse de s’appliquer à la démonstration.

43Il est donc certainement très exagéré de dire, comme le fait Hacking, que, pour Descartes, la démonstration est sans pertinence pour la vérité, et plus encore que son utilité est uniquement celle d’un dispositif rhétorique ou psychologique conçu pour nous conduire à la perception de la vérité. Car, dans ce cas-là, la vérité une fois reconnue devrait être en principe séparable du processus facultatif et éminemment contingent par lequel nous avons été amenés à la percevoir. Or même Descartes ne peut pas croire, et ne croit manifestement pas, que ce soit le cas. Ce qui est vrai est que la démontrabilité n’est pas une condition nécessaire de la vérité non seulement parce que toute démonstration doit partir de propositions qui ne sont pas démontrables et doivent être reconnues comme vraies d’une autre manière, mais également parce que ce n’est pas en tant que telle mais seulement en tant qu’elle est capable de nous procurer une perception claire et distincte de la vérité qu’elle constitue une garantie de celle-ci. Et elle n’est pas non plus une condition suffisante puisque, si nous n’étions pas certains de l’existence de Dieu et du fait qu’il ne peut pas être trompeur, nous ne pourrions pas non plus être certains que les propositions auxquelles nous sommes conduits à donner notre assentiment sur la base de la démonstration sont effectivement vraies.

44C’est ce qui a conduit Descartes à affirmer qu’en toute rigueur les païens ne pouvaient pas être certains de la vérité des assertions mathématiques qu’ils formulent. Leibniz trouve cette doctrine absurde parce que le principe de non-contradiction est le fondement unique de toute la logique et que douter voudrait dire, en l’occurrence, essayer de penser contre le principe de non-contradiction, ce que Dieu lui-même ne peut pas faire : « Car comme les expériences internes sont le fondement de toutes les vérités de fait, ainsi le principe de contradiction est-il le fondement de toutes les vérités de raison ; lui ôté, tout raisonnement est atteint, et l’on ne peut plus rien conclure de Dieu ou d’aucune autre chose. C’est pourquoi rien n’est si absurde que d’assurer que l’on ne peut pas avoir la science certaine des vérités mathématiques sans une connaissance préalable de Dieu ; si absurde que ceux qui savent les finesses de Descartes le soupçonnent ici de je ne sais quel fâcheux artifice. » [PS IV, 327] C’est, bien entendu, cela qui fait l’importance et la suffisance de la démonstration, puisque démontrer une proposition à partir de certains axiomes veut dire démontrer que la conjonction de ces axiomes et de la négation de la proposition est une contradiction. Mais Descartes pense justement qu’il ne suffit pas qu’une chose implique une contradiction dans notre pensée pour que nous soyons autorisés à la considérer comme impossible, même si, une fois que nous sommes assurés de l’existence de Dieu, nous n’avons plus de raison de conserver un doute quelconque sur ce point. Nous n’avons pas tort de considérer comme impossibles les choses qui impliquent contradiction. Elles le sont réellement. Ce qui est vrai est seulement qu’elles ne sont pas nécessairement impossibles.

Notes

I Probablement la duchesse Sophie de Hanovre.

Note de fin

1  Ian Hacking, « Leibniz and Descartes : Proof and Eternal Truths », in A. Kenny (dir.), Rationalism, Empiricism and Idealism, British Academy Lectures on the History of Philosophy, The Clarendon Press, Oxford, 1986, p. 47.

2  Ibid., p. 60.

3  Martial Gueroult, Descartes selon l’ordre des raisons, Aubier-Montaigne, Paris, IIe édition, 1968, tome 1, p. 12.

4  Charles Sanders Peirce, Reasoning and the Logic of Things, Kenneth Laine Ketner (dir.), introduction de Kenneth Laine Ketner et Hilary Putnam, Harvard UP, Cambridge (Mass.)/Londres, 1992, p. 109 (Le Raisonnement et la logique des choses. Les conférences de Cambridge, traduction française par Christiane Chauviré, Pierre Thibaud et Claudine Tiercelin, Cerf, Paris, 1995, p. 155).

5  Yvon Belaval, Leibniz critique de Descartes, Gallimard, Paris, 1960, p. 63.

6 Ibid., p. 27.

7 Ibid., p. 28.

8  Kurt Gödel, « Russell’s Mathematical Logic » (1944) [PM, p. 467].

9  Jean-Luc Marion, Sur la théologie blanche de Descartes, PUF, Paris, 1981, p. 69.

10  Cité par Yvon Belaval, Leibniz critique de Descartes, op. cit., p. 35.

11  Heinrich Scholz, « Leibniz » (1942), inMathesis Universalis, Abhandlungen zur Philosophie als strenge Wissenschaft, 2nde éd., Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1969, p. 142.

12  Paul Valéry, « Une vue de Descartes », in Œuvres I, édition établie et annotée par Jean Hytier, « La Pléiade », Gallimard, Paris, 1957, p. 821.

13  Jean-Luc Marion, Sur la théologie blanche de Descartes, op. cit., p. 155.

14  Hidé Ishiguro, « The Status of Necessity and Impossibility in Descartes », in Amélie Oksenberg Rorty (dir.), Essays on Descartes’ Meditations, University of California Press, Berkeley/Los Angeles/London, 1986, p. 459-471.

15  Ian Hacking, « Leibniz and Descartes… », op. cit., p. 51.

16 G. H. Hardy, « Mathematical Proof », Mind, 1929, n° 38, p. 18.

17  Ibid.

Pour citer cet article

Référence papier

Jacques Bouveresse, « Descartes, le « bon sens », la logique et les vérités éternelles », in Essai V - Descartes, Leibniz, Kant, Marseille, Agone (« Banc d'essais »), 2006, p. 43-77.

Référence électronique

Jacques Bouveresse, « Descartes, le « bon sens », la logique et les vérités éternelles », in Essai V - Descartes, Leibniz, Kant, Marseille, Agone (« Banc d'essais »), 2006, [En ligne], mis en ligne le 11 mars 2009, Consulté le 23 novembre 2009. URL : http://agone.revues.org/index212.html

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